Prüfungsvorlage B | Polynome | Gleichungen

Prüfungsvorlage in pdf: Polynome_Gleichungen-Prufung_Bogen_b.pdf

Anbei die Vorlage in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% **********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL  https://blogs.ethz.ch/rindi/
% **********************************************

\titlehead{
\hfill Biel der \today}
\subject{
\sc{Repetitionspr{\”{u}}fung}\\Bogen B}
\title{\sc{Algebra}}
\author{\sc{- Polynome – Gleichungen -}}
\date{Kantonsschule am See}
\maketitle

% C. AUFGABEN  https://blogs.ethz.ch/rindi/
% **********************************************

\begin{tabbing}
1) \=
\kill
\textbf{1} Berechne den Wert des Binoms $x^2-y$ f{\”{u}}r\\
\>a) $x=3$, $y=16$ \qquad b) $x=4$, $y=-9$\\
\\
\textbf{2} Das Polynom ist in der Normalform anzugeben!\\
\>$-47+48a-a^2+35a-24-3a^3+19+2a^2-19$\\
\\
\textbf{3} Multipliziere das Polynom $22x^3-4y^2x$ mit\\
\>a) $(-1)$ \qquad b) $0$ \qquad c) $x$\\
\\
\textbf{4} Verwende das Pascal-Dreieck! \\
\>a) $(x+y)^4$ \qquad b) $(g-2h)^4$ \qquad Hilfe f{\”{u}}r die Aufgabe b): $(-2h)^4=16h^4$\\
\\
\textbf{5} L{\”{o}}se nach jeder Variablen auf, ohne Diskussion von Sonderf{\”{a}}llen.\\
\>a)  $v=t/s$      \qquad b) $K=S\alpha+2S$\\
\\
\textbf{6} Faktorisiere mit Hilfe der Binomischen Formeln!\\
\>a) $25p^2-9q^2$ \qquad b) $9m^2-24mn+16n^2$\\
\\
\textbf{7} Bestimmen Sie \emph{alle} $x$, f{\”{u}}r die gilt: \qquad $10<\frac{18}{x}$\\
\>Testen Sie Ihr Resultat!\\
\\
\textbf{8} Wenn man das Sechsfache einer Zahl von $360$ subtrahiert, erh{\”{a}}lt man gleich viel,\\
\> wie wenn man ihr Vierfaches von $280$ subtrahiert.

\end{tabbing}
\end{document}

Prüfungsvorlage A | Polynome | Gleichungen

Prüfungsvorlage in pdf: Polynome_Gleichungen-Prufung_Bogen_a.pdf

Anbei die Version in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL  https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\titlehead{
\hfill Bienne der \today}
\subject{
\sc{Repetitionspr{\”{u}}fung}\\Bogen A}
\title{\sc{Algebra}}
\author{\sc{- Polynome – Gleichungen -}}
\date{Kantonsschule am See}
\maketitle

% C. Aufgaben https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\begin{tabbing}
1) \=
\kill
\textbf{1} Berechne den Wert des Binoms $a-b^2$ f{\”{u}}r\\
\>a) $a=9$, $b=4$ \qquad b) $a=11$, $b=-3$\\
\\
\textbf{2} Das Polynom ist in der Normalform anzugeben!\\
\>$-x^2+35x-24-3x^3+19-47-19+48x+2x^2$\\
\\
\textbf{3} Multipliziere das Polynom $2a^3-4a^2b$ mit\\
\>a) $(-1)$ \qquad b) $0$ \qquad c) $a$\\
\\
\textbf{4} Verwende das Pascal-Dreieck! \\
\>a) $(a+b)^4$ \qquad b) $(e-2f)^4$ \qquad Hilfe f{\”{u}}r die Aufgabe b): $(-2f)^4=16f^4$\\
\\
\textbf{5} L{\”{o}}se nach jeder Variablen auf, ohne Diskussion von Sonderf{\”{a}}llen.\\
\>a)  $s=vt$      \qquad b)$L=2R+R\alpha$\\
\\
\textbf{6} Faktorisiere mit Hilfe der Binomischen Formeln!\\
\>a) $16r^2-24rs+9s^2$ \qquad b) $16m^2-9n^2$\\
\\
\textbf{7} Bestimmen Sie \emph{alle} $x$, f{\”{u}}r die gilt: \qquad $\frac{36}{x}>10$\\
\>Testen Sie Ihr Resultat!\\
\\
\textbf{8} Wenn man das Sechsfache einer Zahl von $360$ subtrahiert, erh{\”{a}}lt man gleich viel,\\
\> wie wenn man ihr Vierfaches von $280$ subtrahiert.

\end{tabbing}
\end{document}

Prüfungsvorlage B | Bruchterme

Prüfungsvorlage in pdf: Prüfung Bruchterme Bogen B.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Stadt und Land, der \today}

\title{\sc{Algebra}}
\author{\sc{Bogen B}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. AUFGABEN https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************************

\textbf{Aufgabe 1}\\
\\
Was tut man beim $”$\emph{K{\”{u}}rzen}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

Was tut man beim $”$\emph{Erweitern}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

\textbf{Aufgabe 2}\\
\\
Schreibe alle Binomischen Formeln auf:
\\ \\
1) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
2) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
3) ………………………………………………………………………………………………………\\

\textbf{Aufgabe 3}\\

Bestimme den \emph{ggT} und das \emph{kgV} der nebeneinander stehenden Polynome.
\\

\begin{equation}
8m^4\quad \mathrm{und} \quad
12m^8
\end{equation}

\begin{equation}
2q\quad\mathrm{und} \quad
4q
\end{equation}

\begin{equation}
v^3-2v\quad\mathrm{und} \quad
v
\end{equation}

\begin{equation}
r^2+rs\quad\mathrm{und} \quad
rs-r^2
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 4}\\

K{\”{u}}rze!

\begin{equation}
\label{ }
\frac{x-y}{y-x}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4mn^4}{8mn^3}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{7f+7}{7g+7}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4r^2-9s^2}{2r-3s}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 5}\\
\\

Klammere $(3c-4d)$ in $(24c^2+5cd-36d^2)$ aus – mit Protokoll –  und k{\”{u}}rze dann folgenden Term:

\begin{equation}
\label{ }
\frac{27c^2-48d^2}{24c^2+5cd-36d^2}
\end{equation}

\vspace{23cm}
Der Arbeitsablauf f{\”{u}}r die folgenden Aufgaben ist wie folgt:
\begin{enumerate}
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner, wo m{\”{o}}glich, die binomischen Formeln anwenden
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner alles ausklammern, was m{\”{o}}glich ist
\item k{\”{u}}rzen!
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 6}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{8r^2-8r+2}{10r-5}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{3u-4v}{9u^2-16v^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{a^2-9b^2}{a^2+2ab-15b^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4x^2-4y^2}{-x^2+2xy-y^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{8z+3}{96z^3+28z^2+37z+15}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 7}\\
\\
Vereinfache!

\begin{equation}
\label{ }
(x-1)\cdot \frac{5}{x^2-1}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{2p+q}{p-q}\cdot (p-q)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{m-n}{3m}\cdot\frac{6m}{2m-2n}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\bigg( -\frac{-3}{-5}\bigg)  \bigg(-\frac{-5}{-3}\bigg)
\end{equation}

\end{document}

Prüfungsvorlage A | Bruchterme

Prüfungsvorlag in pdf: Prüfung Bruchterme Bogen A.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/

% ***********************************************

\titlehead{
\hfill Stadt und Land, der \today}

\title{\sc{Algebra}}
\author{\sc{Bogen A}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. Aufgaben https://blogs.ethz.ch/rindi/

% ***********************************************

\textbf{Aufgabe 1}\\
\\
Was tut man beim $”$\emph{K{\”{u}}rzen}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

Was tut man beim $”$\emph{Erweitern}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

\textbf{Aufgabe 2}\\
\\
Schreibe alle Binomischen Formeln auf:
\\ \\
1) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
2) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
3) ………………………………………………………………………………………………………\\

\textbf{Aufgabe 3}\\

Bestimme den \emph{ggT} und das \emph{kgV} der nebeneinander stehenden Polynome.
\\

\begin{equation}
6d\quad\mathrm{und} \quad
4d
\end{equation}

\begin{equation}
6n^6\quad \mathrm{und} \quad
9n^9
\end{equation}

\begin{equation}
z\quad\mathrm{und} \quad
z^2-3z
\end{equation}

\begin{equation}
u^2-uv\quad\mathrm{und} \quad
u^2+uv
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 4}\\

K{\”{u}}rze!

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4mq^6}{8mq^3}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{a-b}{b-a}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{a^2-b^2}{a-b}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{2y+2}{5y+5}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 5}\\
\\

Klammere $(3c-4d)$ in $(24c^2+5cd-36d^2)$ aus und k{\”{u}}rze dann folgenden Term:

\begin{equation}
\label{ }
\frac{27c^2-48d^2}{24c^2+5cd-36d^2}
\end{equation}

\vspace{23cm}
Der Arbeitsablauf f{\”{u}}r die folgenden Aufgaben ist wie folgt:
\begin{enumerate}
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner, wo m{\”{o}}glich, die binomischen Formeln anwenden
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner alles ausklammern, was m{\”{o}}glich ist
\item k{\”{u}}rzen!
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 6}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{6u-8v}{9u^2-16v^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{10r-5}{8r^2-8r+2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{-u^2+2uv-v^2}{4u^2-4v^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{c^2-9d^2}{c^2+2cd-15d^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{8x+3}{96x^3+28x^2+37x+15}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 7}\\
\\
Vereinfache!

\begin{equation}
\label{ }
(a-b)\cdot\frac{2a+b}{a-b}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{5}{q^2-1}\cdot(q-1)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{m-n}{3m}\cdot\frac{6m}{2m-2n}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\bigg( -\frac{-a}{-r}\bigg)  \bigg(-\frac{-r}{-a}\bigg)
\end{equation}
\end{document}

Prüfungsvorlage mit Lösung | Analysis | Induktion | Differential

Eine Prüfungsvorlage in pdf: InduktionDifferentialExamen.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL UND PR{\”{u}}FUNG https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Gen{\`{e}}ve, le \today}

\title{\sc{Vollst{\”{a}}ndige Induktion\\  $\partial$ifferential}}
\author{\sc{Klasse 5a und 5b}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: ……………………………………………………}}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

“\emph{George glaubt}”, sagt der Mathematiker, “\emph{dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, daß 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar F{\”{a}}lle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund best{\”{a}}tigt.}”\\

Obschon George richtig rechnet, macht er einen Fehler. Welchen?\\

Antwort: ………………………………………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

Erkl{\”{a}}ren Sie in in \emph{eigenen} Worten \emph{pr{\”{a}}zis} das \emph{Prinzip} und den \emph{Aufbau} der \emph{Vollst{\”{a}}ndigen Induktion}.\\

Erkl{\”{a}}rung: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 2:\hfill 4 Punkte}\\

Walker behauptet:

\begin{displaymath}
1+2+3+4+5+ … +n= \frac{n(n+1)}{2}+7
\end{displaymath}

Der Induktionsschritt funktioniert n{\”{a}}mlich tats{\”{a}}chlich! Jetzt ist Walker felsenfest {\”{u}}berzeugt, dass seine Vermutung richtig ist.\\

Ihre Aufgabe besteht darin, dass sie Walker erkl{\”{a}}ren, was er falsch macht. Danach beweisen Sie Ihm mit der Beweismethode der Vollst{\”{a}}ndigen Induktion, dass gilt:\\

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
\\
Erkl{\”{a}}rung: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
Beweis:\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) An welchen Stellen ist die folgende Funktion unstetig?
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{x^2}{(x-\pi)(3-x)}
\end{displaymath}
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
Begr{\”{u}}ndung: ………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Ermitteln Sie folgende Grenzwerte:\\
\\
1.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
2.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2+0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
Rechnung:…………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
c) Falls die Funktion $\frac{x^2-x-2}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ stetig fotsetzbar ist, dann schliessen Sie die “L{\”{u}}cke” mit einem Wert f{\”{u}}r $f(2)$ so, dass sie stetig in $\textbf{R}$ ist.\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 4:\hfill 8 Punkte}\\

a) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} allgemein f{\”{u}}r $x_{0}=a$ einer Funktion $f(x)$. Und machen sie eine passende  und gut beschriftete Zeichnung dazu.\\
\\
Differenzenquotient: ………………………………………………………………………………..\\
\\
Zeichnung:
\vfill
b) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} der Sinusfunktion f{\”{u}}r $x_{0}=0$ (ohne ihn zu vereinfachen).\\
\\
Differenzenquotient: ………………………………………………………………………………..\\
\\
d) Was ist die geometrische Bedeutung des \emph{Differentialquotienten} (der Ableitung)? Verdeutlichen Sie Ihre Aussage mit passenden Zeichnungen (Zeichentrickfilm)!\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\vfill
c) Schreiben Sie den \emph{Differentialquotienten} der Cosinusfunktion auf, ohne ihn auszurechnen.\\
\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Skizzieren Sie den Graph der Sinusfunktion $sin(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$.\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 1.Ableitung genannt). Tipp: Konzentrieren Sie sich auf die Wendepunkte, die Steigung der Tangente an den Sinus ist maximal gleich eins!\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 2.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 3.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin^{(IV)}(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$(auch kurz 4.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Was ist Ihre Vermutung? Geben Sie f{\”{u}}r jeden erhaltenen Graph eine m{\”{o}}gliche analytische Formel an!
\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 6:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Berechnen Sie den Differentialquotienten der gegebenen Funktion an der Stelle $x_{0}=1$:\\
\\
a)\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2}x^2
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2-2x
\end{displaymath}
\\
\\
Bestimmen Sie analytisch die 1.Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:\\
\\
c)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2+3
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f(x)=2x^3
\end{displaymath}
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
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\end{document}

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Anbei die Lösung in pdf: LosungenInduktionDifferential.pdf

Anbei die Lösung in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Gen{\`{e}}ve, le \today}

\title{\sc{Vollst{\”{a}}ndige Induktion\\  $\partial$ifferential}}
\author{\sc{Klasse 5a und 5b}}
\date{\normalsize{L{\”{o}}sungen (ohne Gew{\”{a}}hr)}}
\maketitle

% C. Aufgaben mit Lösungen https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

“\emph{George glaubt}”, sagt der Mathematiker, “\emph{dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, daß 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar F{\”{a}}lle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund best{\”{a}}tigt.}”\\

Obschon George richtig rechnet, macht er einen Fehler. Welchen?\\

Antwort:  Er schliesst vom Spezialfall auf das Allgemeine und macht eine nicht vollst{\”{a}}ndige Induktion. Seine Aussage kann mit einem einzigen Gegenbeispiel widerlegt werden: $60/59$ ist nicht $\in \textbf{N}$
\\

Erkl{\”{a}}ren Sie in in \emph{eigenen} Worten \emph{pr{\”{a}}zis} das \emph{Prinzip} und den \emph{Aufbau} der \emph{Vollst{\”{a}}ndigen Induktion}.\\

Erkl{\”{a}}rung: Man schliesst von einer speziellen auf eine allgemeine Aussage. Der Beweis besteht aus einer Verankerung und einem Induktionsschluss oder Induktionsschritt.
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 2:\hfill 4 Punkte}\\

Walker behauptet:

\begin{displaymath}
1+2+3+4+5+ … +n
=
\frac
{n(n+1)}
{2}
+
7
\end{displaymath}

Der Induktionsschritt funktioniert n{\”{a}}mlich tats{\”{a}}chlich! Jetzt ist Walker felsenfest {\”{u}}berzeugt, dass seine Vermutung richtig ist.\\

Ihre Aufgabe besteht darin, dass sie Walker erkl{\”{a}}ren, was er falsch macht. Danach beweisen Sie Ihm mit der Beweismethode der Vollst{\”{a}}ndigen Induktion, dass gilt:\\

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
\\
Erkl{\”{a}}rung: Walker vergisst die Verankerung. Seine Vermutung trifft f{\”{u}}r kein $n \in \textbf{N}$ zu.\\
\\
Beweis:\\
\\
Verankerung: $n=1$\\
\begin{displaymath}
1=\frac{1(1+1)}{2}
\end{displaymath}
Induktionsschritt:\\
\\
Voraussetzung:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
Behauptung:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n+1}  i = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
\end{displaymath}
Beweis:
\begin{displaymath}
\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) An welchen Stellen ist die folgende Funktion unstetig?
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{x^2}{(x-\pi)(3-x)}
\end{displaymath}
Antwort: Bei $\pi$ und $3$.\\
Begr{\”{u}}ndung: Da die Funktion bei $\pi$ und $3$ nicht definiert ist (geteilt durch Null).\\
\\
b) Ermitteln Sie folgende Grenzwerte:\\
\\
1.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
2.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2+0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
Rechnung:\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2-\triangle x)^2-(2-\triangle x)-2}{(2-\triangle x)-2} =3
\end{displaymath}
\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2+\triangle x)^2-(2+\triangle x)-2}{(2+\triangle x)-2}=3
\end{displaymath}
\\
\vfill
c) Falls die Funktion $\frac{x^2-x-2}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ stetig fotsetzbar ist, dann schliessen Sie die “L{\”{u}}cke” mit einem Wert f{\”{u}}r $f(2)$ so, dass sie stetig in $\textbf{R}$ ist.\\
\vfill
Antwort: Sie ist stetig fortsetzbar mit $f(2)=3$.
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 4:\hfill 8 Punkte}\\

a) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} allgemein f{\”{u}}r $x_{0}=a$ einer Funktion $f(x)$. Und machen sie eine passende  und gut beschriftete Zeichnung dazu.\\
\\
Differenzenquotient:
\begin{displaymath}
\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}
\end{displaymath}
oder:
\begin{displaymath}
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\end{displaymath}
Zeichnung:
\vfill
b) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} der Sinusfunktion f{\”{u}}r $x_{0}=0$ (ohne ihn zu vereinfachen).\\
\\
Differenzenquotient:\\
\begin{displaymath}
\frac{sin(0+\triangle x)-sin(0)}{\triangle x}
\end{displaymath}
oder:
\begin{displaymath}
\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}
\end{displaymath}
\\
d) Was ist die geometrische Bedeutung des \emph{Differentialquotienten} (der Ableitung)? Verdeutlichen Sie Ihre Aussage mit passenden Zeichnungen (Zeichentrickfilm)!\\
\\
Es ist die Steigung $m=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx}$ der Tangente an den Graph.\\

\vfill
c) Schreiben Sie den \emph{Differentialquotienten} der Cosinusfunktion auf, ohne ihn auszurechnen.\\
\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0}\frac{cos(x+\triangle x)-cos(x)}{\triangle x}
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Skizzieren Sie den Graph der Sinusfunktion $sin(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$.\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 1.Ableitung genannt). Tipp: Konzentrieren Sie sich auf die Wendepunkte, die Steigung der Tangente an den Sinus ist maximal gleich eins!\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 2.Ableitung genannt, es ist also die Ableitung der Ableitung).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 3.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin^{(IV)}(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$(auch kurz 4.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Was ist Ihre Vermutung? Geben Sie f{\”{u}}r jeden erhaltenen Graph eine m{\”{o}}gliche analytische Formel an!
\\
\begin{displaymath}
sin'(x)=cos(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin”(x)=cos'(x)=-sin(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin”'(x)=cos”(x)=-sin'(x)=-cos(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin””(x)=cos”'(x)=-sin”(x)=-cos'(x)=sin(x)
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 6:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Berechnen Sie den Differentialquotienten der gegebenen Funktion an der Stelle $x_{0}=1$:\\
\\
a)\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2}x^2
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2-2x
\end{displaymath}
\\
\\
Bestimmen Sie die 1.Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:\\
\\
c)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2+3
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f(x)=2x^3
\end{displaymath}
\\
L{\”{o}}sungen:\\
\\
a)
\begin{displaymath}
f'(1)=1
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f'(1)=2-2=0
\end{displaymath}
\\
c)
\begin{displaymath}
f'(x)=2x
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f'(x)=6 x^2
\end{displaymath}
\end{document}

Musterübungen 3 | Arithmetik | Prozentrechnung | Dreisatz

Musterübungen zu Prozentrechnen: Übungen-3-zu-Prozentrechnungen [pdf, 42KB]

Zu Prozent siehe auch: Musterübungen 01 und 02.

Siehe auch: Gymnasialstufe 1 und Gymnasialstufe 2.

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
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\usepackage{marvosym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
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\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{}
\hfill Klassen 2Ri/Re Kantonsschule XY 2007\\
\\
\textbf{Problemstellungen} Prozentrechnung / Zinssatz

% B. Aufgaben https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************
\begin{enumerate}

\item An einer Autotankstelle kamen vor $3$ Jahren t{\”{a}}glich rund $500$ Autos zum Tanken. Dies entsprach $80$~\% der heutigen Autos, die an der Tankstelle tanken. Wieviele Autos fahren heute die Tankstelle t{\”{a}}glich an?

\item Ein  Fahrradgesch{\”{a}}ft  hat $384$ R{\”{a}}der verkauft und m{\”{o}}chte das Gesch{\”{a}}ft leer machen, aber es bleiben noch $40$~\% des Ladeninhalts {\”{u}}brig. Wieviele Fahrr{\”{a}}der waren es urspr{\”{u}}nglich? Wieviele Fahrr{\”{a}}der m{\”{u}}ssen sie noch verkaufen, um das Gesch{\”{a}}ft leer zu machen?

\item Am Samstag wurden 36 Klavierst{\”{u}}cke eines ber{\”{u}}hmten Komponisten vorgespielt. Diese          entsprechen $30$~\% all seiner Werke. $25$~\% seiner gespielten Werke sind in Moll geschrieben.
Wieviel St{\”{u}}cke hat der Komponist geschrieben? Wieviel seiner gespielten Werke sind in Moll    geschrieben?

\item Im Sommer wird meistens alles billiger. Ein iPod mit 4GB Speicher kostet im Laden dann nur noch 159 \$ (enth{\”{a}}lt die MwSt.!) und ist damit 15~\% billiger als zuvor.
a) Was kostete der iPod im Fr{\”{u}}hling?     b) Was kostete ein iPod netto (ohne $16$~\% Mehrwertsteuer) vor dem Jahreswechsel und was kostet er netto (ohne $19$~\% Mehrwertsteuer) im Fr{\”{u}}hling?

\item Strom wird nicht teuerer – oder doch?
Die Stadtwerke Luzern erh{\”{o}}hen ab dem $1.1.2007$ doch nicht die Strompreise!
Der Grundpreis liegt im allgemeinen Tarif bei CHF $47.44$. Je $kWh$ zahlt man dort $20.11$
Rappen. Im Familientarif betr{\”{a}}gt der Grundpreis CHF $104.30$ und 1 kWh kostet $17.15$
Rappen. Unabh{\”{a}}ngig davon steigt jedoch die Mehrwertsteuer von $16$~\% auf $19$~\% ab dem
$01.01.2007$. \\
\\
a) Gib f{\”{u}}r beide Tarife jeweils die Funktion an, die die j{\”{a}}hrlichen Kosten in
Abh{\”{a}}ngigkeit des Stromverbrauchs darstellt.   \\
\\
b) Hansi hat zwar keine Familie, verbraucht jedoch recht viel Strom:  $6700$
$kWh$. Welchen Tarif soll er w{\”{a}}hlen? (Rechnung und Begr{\”{u}}ndung) \\
\\
c) Hansi hatte f{\”{u}}r $2007$ eine Stromrechnung in H{\”{o}}he von CHF $1295$. Bei gleichem
Verbrauch und ohne Preiserh{\”{o}}hung durch die Stadtwerke muss er trotzdem mehr
bezahlen: die in der Rechnung enthaltene Mehrwertsteuer wird 2007 erh{\”{o}}ht.
Wie hoch wird seine Rechnung Ende 2007 sein? \\

\end{enumerate}

\end{document}

Anbei ein paar Lösungen ohne Gewähr:

1) Heute fahren täglich rund 625 Autos die Tankstelle an.
2) Ursprünglich waren es ca. 636 Räder. Das Geschäft muss noch 254 Fahrräder verkaufen.
3) Der Komponist hat 120 Klavierstücke geschrieben und davon 30 in Moll.

Musterübungen 2 | Arithmetik | Prozentrechnung | Dreisatz

Musterübungen 2 in pdf: Übungsaufgaben-2-zu-Prozent [pdf, 44KB]

Weitere Übungen: http://blogs.ethz.ch/rindi/tag/prozentrechnen/

Anbei die LaTeX-Vorlage der “Musterübungen 2”:

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
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\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% A. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% ****************************

\titlehead{}
\textbf{Aufgaben} Prozentrechnung / Zinssatz \hfill Klassen 2Ri/Re Kantonsschule XY 2007\\

% B. AUFGABEN https://blogs.ethz.ch/rindi
% ****************************

\begin{enumerate}

\item Seitdem die Besoldung von Frau Senn um $12.5$\% erh{\”{o}}ht wurde, betr{\”{a}}gt sie CHF~$58400$. Wie gross war sie fr{\”{u}}her?

\item F{\”{u}}r die Herstellung einer Goldm{\”{u}}nze werden $12$~g reines Gold verwendet. Die M{\”{u}}nze soll 21~Karat haben. Wieviel wiegt sie?

\item Eine Warensendung wiegt $245$~kg brutto, die Tara macht $6$~\% aus. $1$~kg kostet netto CHF $2.15$. Auf welchen Betrag lautet die Rechnung?

\item Eine Uhr geht pro Stunde $3$ Minuten zu schnell. Wieviel ist das in \%? Dieselbe Uhr l{\”{a}}uft $3$ Tage. Um wieviele Minuten geht sie vor? Wieviel ist das relativ in \% ausgedr{\”{u}}ckt? Um wieviele \% w{\”{u}}rde dieselbe Uhr nach einem Jahr vorgehen?

\item Eine Umfrage unter $250$ Hausbesitzern ergab: $62$ \% haben einen Gem{\”{u}}segarten, $70$~\% haben einen Blumengarten, $4$~\% haben weder einen Blumen- noch einen Gem{\”{u}}segarten. Wie viele Hausbesitzer haben einen Gem{\”{u}}se-, aber keinen Blumengarten? Zeichne ein Mengendiagramm mit allen Prozentwerten und Prozents{\”{a}}tzen.

\item Wir gehen von einer Gleichung $a-b = c$ aus. $b$ ist $\frac{5}{8}$ von $a$. Wieviel \% von $b$ ist dann $c$?

\item Um wieviel \% ist die Summe der Zahlen $(11\frac{2}{3})^2$ und $(9\frac{1}{3})^2$ gr{\”{o}}sser als ihre Differenz?

\item Vergleiche die beiden Angebote: (A) CHF $16000$ in bar. (B) CHF $5000$ in bar und CHF~$1200$ in $2$~Jahren.

\item F{\”{u}}r eine am $31$. M{\”{a}}rz f{\”{a}}llige Schuld wurden am $24$. August CHF~$1672.8$ gefordert. In dieser Summe ist ein Verzugszins von $5$\% eingeschlossen. Wie gross war die Schuld urspr{\”{u}}nglich?

\item Eine Sparkonto von CHF~$1000$ ist zu $4$\% angelegt. Wie gross ist das Kapital am Ende des 1., 2., 3., 4. … Jahres, wenn der Zins am Ende jedes Jahres auf das Sparkonto einbezahlt wird? (Man spricht von \emph{Zinseszins}.)

\item Zerlege $540$ so in $2$ Zahlen, dass die kleinere Zahl $35$\% der gr{\”{o}}sseren ausmacht.

\item Ein T{\”{o}}ffli braucht eine $2$ \%ige l-Benzinmischung. An einer Tankstelle kann man aber nur $2.5$~\%iges Gemisch und reines Benzin bekommen. Wieviele $l$ Benzin und $2.5$~\%iges Gemisch braucht man f{\”{u}}r eine Tankf{\”{u}}llung von $7$ litern?

\end{enumerate}

\end{document}

Musterübungen 1 | Arithmetik | Prozentrechnung | Dreisatz

Aufgabenblatt in pdf: Übungsaufgaben-1-zu-Prozent [pdf, 40KB]

Anbei die Vorlage in LaTeX:

% A. PRAEMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ********************************************

\titlehead{}
\textbf{{\”{U}}bungen} Prozentrechnung / Zinssatz \hfill Klassen 2Ri/Re Kantonsschule XY 2010\\

% C. Aufgaben https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ********************************************

\begin{enumerate}
\item Von drei Zahlen ist die zweite dreimal so gross wie die erste und die dritte ist
so gross wie die zweite minus die erste. Berechne die drei Zahlen, wenn die
Summe $114$ ist.

\item Herr Kaufmann kauft Waren im Betrag von $2800$ CHF. Er erh{\”{a}}lt $12$\% Rabatt und bei Bezahlung der Rechnung innert $30$ Tagen zudem noch $2.5$\% Skonto. Wieviel hat er zu bezahlen, wenn ihm Rabatt und Skonto gew{\”{a}}hrt werden?

\item Der Preis f{\”{u}}r ein Auto wird um 35\% auf CHF $16000$ herabgesetzt. Berechne den alten Preis.

\item Wie hoch sind die Selbstkosten eines Artikels, der bei $15$\% Gewinn und Gew{\”{a}}hrung von $3$\% Skonto f{\”{u}}r $13.75$ CHF angeboten wird?

\item Ein St{\”{u}}ck Land von $15000$ m$^2$ ist unter drei Erben A, B und C zu verteilen. B soll $70$\% der Fl{\”{a}}che bekommen, die A erh{\”{a}}lt, und C $80$\% der Fl{\”{a}}che, die B erh{\”{a}}lt. Wie wird das Landst{\”{u}}ck aufgeteilt?

\item Ein Kapital ist zu $3.5$\% angelegt und erzielt in 5 Monaten einen Zins  von $1500$~CHF. Wie gross ist das Kapital?

\item Die Einwohnerzahl einer Stadt nahm in einem Jahr um $5.3$\% zu, im darauffolgenden Jahr um $3.7$\% ab und betrug dann $83204$. Wie hoch war die Einwohnerzahl zwei Jahre zuvor?

\item Am 15. Juni wird ein Darlehen von $8000$ CHF aufgenommen. Es wird zu $5.5$\% vezinst. Am 15. Oktober werden $4500$~CHF zur{\”{u}}ckbezahlt. Wie sieht die Abrechnung (Restschuld und Zinsen) auf den 15 Mai des folgenden Jahres aus?

\item Jael hat sich ein Velo f{\”{u}}r $3400$ CHF gekauft. Diesen Betrag sollte sie am 17.~Februar begleichen. Da sie aber erst am 26. Juli bezahlt, werden $3466.45$ CHF
gefordert. Wie viel Prozent betr{\”{a}}gt der Verzugszins?

\item Eine Klasse l{\”{a}}sst sich 19 gleiche Taschenb{\”{u}}cher von der Buchhandlung schicken. Die Verpackung der Sendung betr{\”{a}}gt $120$ g, das sind 5\% des Gesamtgewichts. Wie schwer ist jedes Buch?

\item Das Nettogewicht einer Ware betr{\”{a}}gt $812.5$ kg. Die Verpackung macht $8$\% aus. Berechne das Bruttogewicht und die Tara.

\item Ein Regionalexpress der Deutschen Bahn hat den Hamburger Bahnhof um
$8.50$ Uhr verlassen. Er bef{\”{u}}hrt die Strecke in Richtung Bremen mit einer Geschwindigkeit von $60$ km/h. Ein ICE der deutschen Bahn verl{\”{a}}sst den Bahnhof
von Hamburg um $9.20$ Uhr. Er bef{\”{a}}hrt dieselbe Strecke mit einer Geschwindigkeit von $240$ km/h. Wann erreicht der ICE den Regionalexpress?

\item In einem Betrieb sind $32$\% der Angestellten Frauen. $50$\% der Frauen sind Ausw{\”{a}}rtige. $70$\% aller Angestellten sind Einheimische. Wie viel \% der M{\”{a}}nner sind Einheimische?

\item Von 750 Sch{\”{u}}lern einer Schule sind $56$\% Knaben. $50$\% der Knaben kommen mit dem Mofa zur Schule, und $70$\% der M{\”{a}}dchen ben{\”{u}}tzen kein Mofa. Wie viele Sch{\”{u}}ler/Innen ben{\”{u}}tzen kein Mofa? Zeichne ein Mengendiagramm mit den Prozentwerten.

\item Ein Aktion{\”{a}}r erwartet von seinen Aktien eine durchschnittliche Dividende (Gewinnaussch{\”{u}}ttung) von $5.5$\%. Wie viele Aktien zu $500$ CHF muss er mindestens besitzen, um j{\”{a}}hrlich $4950$ CHF an Dividenden einnehmen zu k{\”{o}}nnen?

\item Zerlege die Zahl $100$ so in zwei Summanden, dass der eine $60$\% des anderen ausmacht.

\item Welche Summe muss man heute zu $5.75$\% an Zins anlegen, um am Ende des Jahres ein Guthaben von $25000$ CHF zu besitzen?

\item Loic tr{\”{a}}umt, dass er in der letzten Ziehung des Zahlenlottos allein einen “Sechser”  erzielt hat und eine Gewinnsumme von $1211611$ CHF erh{\”{a}}lt. Beim Morgenessen {\”{u}}berlegt Loic, wie sich ein solcher Gl{\”{u}}cksfall auswirken w{\”{u}}rde. Der Vater erkl{\”{a}}rt ihm, dass er f{\”{u}}r eine solche Gewinnsumme $27,34$\% Steuern bezahlen m{\”{u}}sste, und den Rest k{\”{o}}nnte er dann etwa f{\”{u}}r $6.25$\% anlegen.

Welches Einkommen h{\”{a}}tte Loic mit diesen Annahmen j{\”{a}}hrlich zur Verf{\”{u}}gung? Wie viel m{\”{u}}sstest du in deiner Wohngemeinde bei einer solchen Gewinnsumme an Steuern abgeben?

\item F{\”{u}}r ein Kapital bekommt man w{\”{a}}hrend der ersten $3$ Monate $4$\% und anschliessend w{\”{a}}hrend der n{\”{a}}chsten $9$ Monate $3$\% Zins. Der Zins f{\”{u}}r dieses Jahr betr{\”{a}}gt $58.50$ CHF. Wie gross ist das Kapital?

\item In $72$ Tagen ergibt ein Kapital von $4000$ CHF einen Zins von $6$ CHF. Wie gross ist der Zins eines Kapitals von $750$ CHF bei gleichem Zinsfuss in $108$ Tagen?

\item Anna, Ben und Clea haben zusammen $30$ Kaugummis. G{\”{a}}be Ben der Clea $5$, Clea der Anna $4$ und Anna dem Ben $2$ Kaugummis, so h{\”{a}}tten alle drei gleich viele. Wieviele Kaugummis hat Anna?
\end{enumerate}

\end{document}

Prüfungsvorlage B | Arithmetik | Prozentrechnen | Gymnasialstufe 1

Eine Prüfungsvorlage: Prüfung_Prozentrechung.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:
% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% **************************************

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\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\begin{document}
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% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% **************************************

\titlehead{}
\textbf{Nach-Pr{\”{u}}fung} Prozent- u. Zinsrechnung \hfill  Kantonsschule XY 2007\\
\\
Name:………………………………….Vorname: …………………………………………..Klasse: 2Ri\\
\\
% C. TEST https://blogs.ethz.ch/rindi
% **************************************
Du hast 90 Minuten Zeit. Achte auf eine saubere Darstellung. Der L{\”{o}}sungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh{\”{o}}rt: die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Gleichung
ist vorhanden und sauber gel{\”{o}}st und am Schluss steht ein Antwortsatz.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7&8&9& Total\\
\hline
Punkte  &3&3&3&2&3&3&3&3&3&26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Noëmi kauft Designerjeans f{\”{u}}r CHF~$249$. Bei Barzahlung erh{\”{a}}lt sie $3.5$~\% Skonto. Berechne Skonto und den Preis bei Barbezahlung.

\item Bruno hat eine goldene Uhr gefunden. Er sucht den Besitzer und kennt ihn! Nach einigen Tagen erh{\”{a}}lt er CHF~$550$ Finderlohn. Der Finderlohn betr{\”{a}}gt $7.5$~\% vom Wert des Fundst{\”{u}}cks. Was ist der echte Wert der Golduhr?

\item Der Preis f{\”{u}}r eine Stereoanlage wird um $12$~\% auf CHF~$240$ herabgesetzt. Berechne den alten Preis.

\item Bei einer Ausweiskontrolle im Zug wurde gegen $21$ von $321$ “Fahrg{\”{a}}sten“ Anzeige erstattet. Wieviel Prozent der Reisenden fuhr ”schwarz”?

\item Herr Kaufmann kauft Waren im Betrag von CHF~$2400$. Er erh{\”{a}}lt $10$~\% Rabatt. Bei Bezahlung der Rechnung innert $30$~Tagen zudem noch $2$~\% Skonto. Wieviel hat er zu bezahlen, wenn ihm Rabatt und Skonto gew{\”{a}}hrt werden?

\item Ein Barkeeper mischt $2$~dl eines $30$~\%igen Alkohols mit $3$ dl eines $40$~\%igen Alkohols. Wie viele dl Orangensaft muss er dazumischen, damit er seinem Gast ein Getr{\”{a}}nk mit $10$~\% Alkoholgehalt servieren kann?

\item Der Gewinn eines Baugesch{\”{a}}ftes nahm in einem Jahr um $2.4$~\% ab, im darauffolgenden Jahr um $3.5$~\% zu und betrug dann £ $83204$. Wie hoch war der Gewinn zwei Jahre zuvor?

\item Am 15. Januar wird ein Darlehen von CHF~$6000$ aufgenommen. Es wird zu $5.5$~\% vezinst. Am15. April werden CHF~$4500$ zur{\”{u}}ckbezahlt. Wie sieht die Abrechnung (Restschuld und Zinsen) auf den $15$~Januar des folgenden Jahres aus?

\item Ein guter Bienenz{\”{u}}cheter antwortet auf die Frage nach der Anzahl seiner Bienen: „H{\”{a}}tte ich einen Viertel weniger Bienen aber noch $5000$ dazu, so w{\”{u}}rde die Anzahl der Bienen um so viel unter $100000$ liegen, wie sie jetzt {\”{u}}ber $100000$ liegt.“ Wieviele Bienen hat der Bienenz{\”{u}}chter?

\end{enumerate}
\center{\tiny  \smiley~Viel Erfolg!~\smiley}
\end{document}