Prüfungsvorlage B | Bruchterme

Prüfungsvorlage in pdf: Prüfung Bruchterme Bogen B.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Stadt und Land, der \today}

\title{\sc{Algebra}}
\author{\sc{Bogen B}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. AUFGABEN https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************************

\textbf{Aufgabe 1}\\
\\
Was tut man beim $”$\emph{K{\”{u}}rzen}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

Was tut man beim $”$\emph{Erweitern}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

\textbf{Aufgabe 2}\\
\\
Schreibe alle Binomischen Formeln auf:
\\ \\
1) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
2) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
3) ………………………………………………………………………………………………………\\

\textbf{Aufgabe 3}\\

Bestimme den \emph{ggT} und das \emph{kgV} der nebeneinander stehenden Polynome.
\\

\begin{equation}
8m^4\quad \mathrm{und} \quad
12m^8
\end{equation}

\begin{equation}
2q\quad\mathrm{und} \quad
4q
\end{equation}

\begin{equation}
v^3-2v\quad\mathrm{und} \quad
v
\end{equation}

\begin{equation}
r^2+rs\quad\mathrm{und} \quad
rs-r^2
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 4}\\

K{\”{u}}rze!

\begin{equation}
\label{ }
\frac{x-y}{y-x}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4mn^4}{8mn^3}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{7f+7}{7g+7}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4r^2-9s^2}{2r-3s}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 5}\\
\\

Klammere $(3c-4d)$ in $(24c^2+5cd-36d^2)$ aus – mit Protokoll –  und k{\”{u}}rze dann folgenden Term:

\begin{equation}
\label{ }
\frac{27c^2-48d^2}{24c^2+5cd-36d^2}
\end{equation}

\vspace{23cm}
Der Arbeitsablauf f{\”{u}}r die folgenden Aufgaben ist wie folgt:
\begin{enumerate}
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner, wo m{\”{o}}glich, die binomischen Formeln anwenden
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner alles ausklammern, was m{\”{o}}glich ist
\item k{\”{u}}rzen!
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 6}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{8r^2-8r+2}{10r-5}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{3u-4v}{9u^2-16v^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{a^2-9b^2}{a^2+2ab-15b^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4x^2-4y^2}{-x^2+2xy-y^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{8z+3}{96z^3+28z^2+37z+15}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 7}\\
\\
Vereinfache!

\begin{equation}
\label{ }
(x-1)\cdot \frac{5}{x^2-1}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{2p+q}{p-q}\cdot (p-q)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{m-n}{3m}\cdot\frac{6m}{2m-2n}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\bigg( -\frac{-3}{-5}\bigg)  \bigg(-\frac{-5}{-3}\bigg)
\end{equation}

\end{document}

Prüfungsvorlage A | Bruchterme

Prüfungsvorlag in pdf: Prüfung Bruchterme Bogen A.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[pdftex]{graphicx}
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\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
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\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/

% ***********************************************

\titlehead{
\hfill Stadt und Land, der \today}

\title{\sc{Algebra}}
\author{\sc{Bogen A}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. Aufgaben https://blogs.ethz.ch/rindi/

% ***********************************************

\textbf{Aufgabe 1}\\
\\
Was tut man beim $”$\emph{K{\”{u}}rzen}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

Was tut man beim $”$\emph{Erweitern}$”$?
\\
Antwort:…………………………………………………………………………………………..\\
\\
………………………………………………………………………………………………………..\\
\\
\\
Mache ein Beispiel:…………………………………………………………………………..\\

\textbf{Aufgabe 2}\\
\\
Schreibe alle Binomischen Formeln auf:
\\ \\
1) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
2) ………………………………………………………………………………………………………\\
\\
3) ………………………………………………………………………………………………………\\

\textbf{Aufgabe 3}\\

Bestimme den \emph{ggT} und das \emph{kgV} der nebeneinander stehenden Polynome.
\\

\begin{equation}
6d\quad\mathrm{und} \quad
4d
\end{equation}

\begin{equation}
6n^6\quad \mathrm{und} \quad
9n^9
\end{equation}

\begin{equation}
z\quad\mathrm{und} \quad
z^2-3z
\end{equation}

\begin{equation}
u^2-uv\quad\mathrm{und} \quad
u^2+uv
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 4}\\

K{\”{u}}rze!

\begin{equation}
\label{ }
\frac{4mq^6}{8mq^3}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{a-b}{b-a}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{a^2-b^2}{a-b}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{2y+2}{5y+5}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 5}\\
\\

Klammere $(3c-4d)$ in $(24c^2+5cd-36d^2)$ aus und k{\”{u}}rze dann folgenden Term:

\begin{equation}
\label{ }
\frac{27c^2-48d^2}{24c^2+5cd-36d^2}
\end{equation}

\vspace{23cm}
Der Arbeitsablauf f{\”{u}}r die folgenden Aufgaben ist wie folgt:
\begin{enumerate}
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner, wo m{\”{o}}glich, die binomischen Formeln anwenden
\item im Z{\”{a}}hler und Nenner alles ausklammern, was m{\”{o}}glich ist
\item k{\”{u}}rzen!
\end{enumerate}

\textbf{Aufgabe 6}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{6u-8v}{9u^2-16v^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{10r-5}{8r^2-8r+2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{-u^2+2uv-v^2}{4u^2-4v^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{c^2-9d^2}{c^2+2cd-15d^2}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{8x+3}{96x^3+28x^2+37x+15}
\end{equation}

\textbf{Aufgabe 7}\\
\\
Vereinfache!

\begin{equation}
\label{ }
(a-b)\cdot\frac{2a+b}{a-b}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{5}{q^2-1}\cdot(q-1)
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\frac{m-n}{3m}\cdot\frac{6m}{2m-2n}
\end{equation}

\begin{equation}
\label{ }
\bigg( -\frac{-a}{-r}\bigg)  \bigg(-\frac{-r}{-a}\bigg)
\end{equation}
\end{document}

Prüfungsvorlage mit Lösung | Analysis | Differentialrechnung | Differezialregeln | Ableitungsregeln

Eine Prüfungsvorlage in pdf: Prüfung Differenzialrechung.pdf

Die Lösung in pdf: Lösung Differenzialrechnung.pdf

Anbei die LaTeX Version:

% A. PRAEAMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
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\usepackage{color}
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\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% B. TITELSEITE UND INHALTSVERZEICHNIS http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *********************************************************************

\titlehead{}
\textbf{Prf\”ung} Differenzial / Ableitungsregeln \hfill Klassen 5Ra/5Lc Kantonsschule 2010\\
\\
Name:………………………………….Vorname: …………………………………………..Klasse: …….\\
\\
% C. TEST http://blogs.ethz.ch/rindi/
% ************************************
Sie haben 90 Minuten Zeit. Achten Sie auf eine saubere Darstellung. Der L\”osungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh\”ort: Die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Gleichungen
sind vorhanden und sauber gel\”ost und am Schluss steht ein Antwortsatz.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7& Total\\ \hline
Punkte  &4&4&4&4&4&4&2& 26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Bestimmen Sie die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=\frac{x}{x-3} \quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{1}{x^2+3} \quad
\mathrm{c)} \quad y=\sqrt{9-x^{2}} \quad
\mathrm{d)} \quad y=\sqrt{x-2} \quad
\end{displaymath}

\item Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ f\”ur $x\rightarrow \infty$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=3^{-x} \quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{x^2+1}{x^2+2} \quad
\mathrm{c)} \quad y=\sqrt{x^{2}-4} \quad
\mathrm{d)} \quad y=\frac{(2x-1)^2}{2x^2+1} \quad
\end{displaymath}

\item Bilden Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ in der Umgebung von $x=a$ und bringen Sie ihn erstens in eine m\”oglichst einfache Form und zweitens ermitteln Sie den Differentialquotienten der Funktion an der Stelle $x=a$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=\frac{1}{x} \quad
\mathrm{b)} \quad y=(2x+1)^2 \quad
\end{displaymath}

\item Bestimmen Sie die 1. Ableitungsfunktion $f^{\prime}:x\rightarrow f^{\prime}(x)=y$\\ der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ mit den Ableitungsregeln.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad f: y=x^2+3 \quad
\mathrm{b)} \quad f: y=2x^3 \quad
\mathrm{c)} \quad f: y=\frac{x}{x-2} \quad
\mathrm{d)} \quad f: y=\frac{x-2}{x} \quad
\end{displaymath}

\item Wie heisst die lineare Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt P?
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=x^2,\; P=(2,y_{p})\quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{x^2}{2}-x ,\; P=(1,y_{p})\quad
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\mathrm{c)} \quad y=x^3+2x,\; P=(-2,y_{p})\quad
\mathrm{d)} \quad y=\frac{x+3}{2x} ,\; P=(1,y_{p})\quad
\end{displaymath}

\item Der Graph der Funktion $f$ ist auf der R\”uckseite dargestellt. Skizzieren Sie den Graphen der zugeh\”origen Ableitungsfunktion $f^{\prime}$.

\item Zu einer der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung in der Physik: Die Funktion, welche die Zeit gegen die Position aufzeichnet sei $x(t)$. (a) Beweisen Sie, dass die erste Ableitung dieser Positionsfunktion, $x^{\prime}(t)$, die Geschwindigkeitsfunktion, $v(t)$, in Abh\”angigkeit der Zeit ist. Hilfe: Man schreibe den Differenzialquotienten inklusive der Sorten [km] f\”ur die Position und [h] f\”ur die Zeit und argumentiere mit physikalischen Grundkenntnissen. (b) Was ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfuntion (beziehungsweise die zweite Ableitung der Positionsfunktion)?

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{gr.JPG}
\caption{Darstellungen der Graphen f\”ur die Aufgabe 6.}
\label{}
\end{center}
\end{figure}

\end{enumerate}
Fakultative Besch\”aftigung f\”ur schnellere: Berechne die vierte Ableitung der Cosinusfunktion, $cos(x)^{\prime \prime \prime \prime}$.
%\center{\tiny  \smiley~Viel Erfolg!~\smiley}
\end{document}

Und die zugehörige Zeichnung gr.JPG:

Funktionen zu denen die Ableitungen gefunden werden sollen.

Prüfungsvorlage mit Lösung | Analysis | Induktion | Differential

Eine Prüfungsvorlage in pdf: InduktionDifferentialExamen.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL UND PR{\”{u}}FUNG https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Gen{\`{e}}ve, le \today}

\title{\sc{Vollst{\”{a}}ndige Induktion\\  $\partial$ifferential}}
\author{\sc{Klasse 5a und 5b}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: ……………………………………………………}}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

“\emph{George glaubt}”, sagt der Mathematiker, “\emph{dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, daß 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar F{\”{a}}lle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund best{\”{a}}tigt.}”\\

Obschon George richtig rechnet, macht er einen Fehler. Welchen?\\

Antwort: ………………………………………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

Erkl{\”{a}}ren Sie in in \emph{eigenen} Worten \emph{pr{\”{a}}zis} das \emph{Prinzip} und den \emph{Aufbau} der \emph{Vollst{\”{a}}ndigen Induktion}.\\

Erkl{\”{a}}rung: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 2:\hfill 4 Punkte}\\

Walker behauptet:

\begin{displaymath}
1+2+3+4+5+ … +n= \frac{n(n+1)}{2}+7
\end{displaymath}

Der Induktionsschritt funktioniert n{\”{a}}mlich tats{\”{a}}chlich! Jetzt ist Walker felsenfest {\”{u}}berzeugt, dass seine Vermutung richtig ist.\\

Ihre Aufgabe besteht darin, dass sie Walker erkl{\”{a}}ren, was er falsch macht. Danach beweisen Sie Ihm mit der Beweismethode der Vollst{\”{a}}ndigen Induktion, dass gilt:\\

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
\\
Erkl{\”{a}}rung: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
Beweis:\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) An welchen Stellen ist die folgende Funktion unstetig?
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{x^2}{(x-\pi)(3-x)}
\end{displaymath}
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
Begr{\”{u}}ndung: ………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Ermitteln Sie folgende Grenzwerte:\\
\\
1.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
2.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2+0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
Rechnung:…………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
c) Falls die Funktion $\frac{x^2-x-2}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ stetig fotsetzbar ist, dann schliessen Sie die “L{\”{u}}cke” mit einem Wert f{\”{u}}r $f(2)$ so, dass sie stetig in $\textbf{R}$ ist.\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 4:\hfill 8 Punkte}\\

a) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} allgemein f{\”{u}}r $x_{0}=a$ einer Funktion $f(x)$. Und machen sie eine passende  und gut beschriftete Zeichnung dazu.\\
\\
Differenzenquotient: ………………………………………………………………………………..\\
\\
Zeichnung:
\vfill
b) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} der Sinusfunktion f{\”{u}}r $x_{0}=0$ (ohne ihn zu vereinfachen).\\
\\
Differenzenquotient: ………………………………………………………………………………..\\
\\
d) Was ist die geometrische Bedeutung des \emph{Differentialquotienten} (der Ableitung)? Verdeutlichen Sie Ihre Aussage mit passenden Zeichnungen (Zeichentrickfilm)!\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\vfill
c) Schreiben Sie den \emph{Differentialquotienten} der Cosinusfunktion auf, ohne ihn auszurechnen.\\
\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Skizzieren Sie den Graph der Sinusfunktion $sin(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$.\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 1.Ableitung genannt). Tipp: Konzentrieren Sie sich auf die Wendepunkte, die Steigung der Tangente an den Sinus ist maximal gleich eins!\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 2.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 3.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin^{(IV)}(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$(auch kurz 4.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Was ist Ihre Vermutung? Geben Sie f{\”{u}}r jeden erhaltenen Graph eine m{\”{o}}gliche analytische Formel an!
\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 6:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Berechnen Sie den Differentialquotienten der gegebenen Funktion an der Stelle $x_{0}=1$:\\
\\
a)\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2}x^2
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2-2x
\end{displaymath}
\\
\\
Bestimmen Sie analytisch die 1.Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:\\
\\
c)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2+3
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f(x)=2x^3
\end{displaymath}
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
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…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\end{document}

_______________________________________________

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_______________________________________________

Anbei die Lösung in pdf: LosungenInduktionDifferential.pdf

Anbei die Lösung in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\usepackage[dvips]{geometry}
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\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Gen{\`{e}}ve, le \today}

\title{\sc{Vollst{\”{a}}ndige Induktion\\  $\partial$ifferential}}
\author{\sc{Klasse 5a und 5b}}
\date{\normalsize{L{\”{o}}sungen (ohne Gew{\”{a}}hr)}}
\maketitle

% C. Aufgaben mit Lösungen https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

“\emph{George glaubt}”, sagt der Mathematiker, “\emph{dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, daß 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar F{\”{a}}lle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund best{\”{a}}tigt.}”\\

Obschon George richtig rechnet, macht er einen Fehler. Welchen?\\

Antwort:  Er schliesst vom Spezialfall auf das Allgemeine und macht eine nicht vollst{\”{a}}ndige Induktion. Seine Aussage kann mit einem einzigen Gegenbeispiel widerlegt werden: $60/59$ ist nicht $\in \textbf{N}$
\\

Erkl{\”{a}}ren Sie in in \emph{eigenen} Worten \emph{pr{\”{a}}zis} das \emph{Prinzip} und den \emph{Aufbau} der \emph{Vollst{\”{a}}ndigen Induktion}.\\

Erkl{\”{a}}rung: Man schliesst von einer speziellen auf eine allgemeine Aussage. Der Beweis besteht aus einer Verankerung und einem Induktionsschluss oder Induktionsschritt.
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 2:\hfill 4 Punkte}\\

Walker behauptet:

\begin{displaymath}
1+2+3+4+5+ … +n
=
\frac
{n(n+1)}
{2}
+
7
\end{displaymath}

Der Induktionsschritt funktioniert n{\”{a}}mlich tats{\”{a}}chlich! Jetzt ist Walker felsenfest {\”{u}}berzeugt, dass seine Vermutung richtig ist.\\

Ihre Aufgabe besteht darin, dass sie Walker erkl{\”{a}}ren, was er falsch macht. Danach beweisen Sie Ihm mit der Beweismethode der Vollst{\”{a}}ndigen Induktion, dass gilt:\\

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
\\
Erkl{\”{a}}rung: Walker vergisst die Verankerung. Seine Vermutung trifft f{\”{u}}r kein $n \in \textbf{N}$ zu.\\
\\
Beweis:\\
\\
Verankerung: $n=1$\\
\begin{displaymath}
1=\frac{1(1+1)}{2}
\end{displaymath}
Induktionsschritt:\\
\\
Voraussetzung:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
Behauptung:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n+1}  i = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
\end{displaymath}
Beweis:
\begin{displaymath}
\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) An welchen Stellen ist die folgende Funktion unstetig?
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{x^2}{(x-\pi)(3-x)}
\end{displaymath}
Antwort: Bei $\pi$ und $3$.\\
Begr{\”{u}}ndung: Da die Funktion bei $\pi$ und $3$ nicht definiert ist (geteilt durch Null).\\
\\
b) Ermitteln Sie folgende Grenzwerte:\\
\\
1.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
2.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2+0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
Rechnung:\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2-\triangle x)^2-(2-\triangle x)-2}{(2-\triangle x)-2} =3
\end{displaymath}
\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2+\triangle x)^2-(2+\triangle x)-2}{(2+\triangle x)-2}=3
\end{displaymath}
\\
\vfill
c) Falls die Funktion $\frac{x^2-x-2}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ stetig fotsetzbar ist, dann schliessen Sie die “L{\”{u}}cke” mit einem Wert f{\”{u}}r $f(2)$ so, dass sie stetig in $\textbf{R}$ ist.\\
\vfill
Antwort: Sie ist stetig fortsetzbar mit $f(2)=3$.
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 4:\hfill 8 Punkte}\\

a) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} allgemein f{\”{u}}r $x_{0}=a$ einer Funktion $f(x)$. Und machen sie eine passende  und gut beschriftete Zeichnung dazu.\\
\\
Differenzenquotient:
\begin{displaymath}
\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}
\end{displaymath}
oder:
\begin{displaymath}
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\end{displaymath}
Zeichnung:
\vfill
b) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} der Sinusfunktion f{\”{u}}r $x_{0}=0$ (ohne ihn zu vereinfachen).\\
\\
Differenzenquotient:\\
\begin{displaymath}
\frac{sin(0+\triangle x)-sin(0)}{\triangle x}
\end{displaymath}
oder:
\begin{displaymath}
\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}
\end{displaymath}
\\
d) Was ist die geometrische Bedeutung des \emph{Differentialquotienten} (der Ableitung)? Verdeutlichen Sie Ihre Aussage mit passenden Zeichnungen (Zeichentrickfilm)!\\
\\
Es ist die Steigung $m=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx}$ der Tangente an den Graph.\\

\vfill
c) Schreiben Sie den \emph{Differentialquotienten} der Cosinusfunktion auf, ohne ihn auszurechnen.\\
\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0}\frac{cos(x+\triangle x)-cos(x)}{\triangle x}
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Skizzieren Sie den Graph der Sinusfunktion $sin(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$.\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 1.Ableitung genannt). Tipp: Konzentrieren Sie sich auf die Wendepunkte, die Steigung der Tangente an den Sinus ist maximal gleich eins!\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 2.Ableitung genannt, es ist also die Ableitung der Ableitung).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 3.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin^{(IV)}(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$(auch kurz 4.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Was ist Ihre Vermutung? Geben Sie f{\”{u}}r jeden erhaltenen Graph eine m{\”{o}}gliche analytische Formel an!
\\
\begin{displaymath}
sin'(x)=cos(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin”(x)=cos'(x)=-sin(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin”'(x)=cos”(x)=-sin'(x)=-cos(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin””(x)=cos”'(x)=-sin”(x)=-cos'(x)=sin(x)
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 6:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Berechnen Sie den Differentialquotienten der gegebenen Funktion an der Stelle $x_{0}=1$:\\
\\
a)\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2}x^2
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2-2x
\end{displaymath}
\\
\\
Bestimmen Sie die 1.Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:\\
\\
c)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2+3
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f(x)=2x^3
\end{displaymath}
\\
L{\”{o}}sungen:\\
\\
a)
\begin{displaymath}
f'(1)=1
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f'(1)=2-2=0
\end{displaymath}
\\
c)
\begin{displaymath}
f'(x)=2x
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f'(x)=6 x^2
\end{displaymath}
\end{document}

Prüfungsvorlage B | Arithmetik | Prozentrechnen | Gymnasialstufe 1

Eine Prüfungsvorlage: Prüfung_Prozentrechung.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:
% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% **************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{wasysym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% **************************************

\titlehead{}
\textbf{Nach-Pr{\”{u}}fung} Prozent- u. Zinsrechnung \hfill  Kantonsschule XY 2007\\
\\
Name:………………………………….Vorname: …………………………………………..Klasse: 2Ri\\
\\
% C. TEST https://blogs.ethz.ch/rindi
% **************************************
Du hast 90 Minuten Zeit. Achte auf eine saubere Darstellung. Der L{\”{o}}sungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh{\”{o}}rt: die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Gleichung
ist vorhanden und sauber gel{\”{o}}st und am Schluss steht ein Antwortsatz.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7&8&9& Total\\
\hline
Punkte  &3&3&3&2&3&3&3&3&3&26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Noëmi kauft Designerjeans f{\”{u}}r CHF~$249$. Bei Barzahlung erh{\”{a}}lt sie $3.5$~\% Skonto. Berechne Skonto und den Preis bei Barbezahlung.

\item Bruno hat eine goldene Uhr gefunden. Er sucht den Besitzer und kennt ihn! Nach einigen Tagen erh{\”{a}}lt er CHF~$550$ Finderlohn. Der Finderlohn betr{\”{a}}gt $7.5$~\% vom Wert des Fundst{\”{u}}cks. Was ist der echte Wert der Golduhr?

\item Der Preis f{\”{u}}r eine Stereoanlage wird um $12$~\% auf CHF~$240$ herabgesetzt. Berechne den alten Preis.

\item Bei einer Ausweiskontrolle im Zug wurde gegen $21$ von $321$ “Fahrg{\”{a}}sten“ Anzeige erstattet. Wieviel Prozent der Reisenden fuhr ”schwarz”?

\item Herr Kaufmann kauft Waren im Betrag von CHF~$2400$. Er erh{\”{a}}lt $10$~\% Rabatt. Bei Bezahlung der Rechnung innert $30$~Tagen zudem noch $2$~\% Skonto. Wieviel hat er zu bezahlen, wenn ihm Rabatt und Skonto gew{\”{a}}hrt werden?

\item Ein Barkeeper mischt $2$~dl eines $30$~\%igen Alkohols mit $3$ dl eines $40$~\%igen Alkohols. Wie viele dl Orangensaft muss er dazumischen, damit er seinem Gast ein Getr{\”{a}}nk mit $10$~\% Alkoholgehalt servieren kann?

\item Der Gewinn eines Baugesch{\”{a}}ftes nahm in einem Jahr um $2.4$~\% ab, im darauffolgenden Jahr um $3.5$~\% zu und betrug dann £ $83204$. Wie hoch war der Gewinn zwei Jahre zuvor?

\item Am 15. Januar wird ein Darlehen von CHF~$6000$ aufgenommen. Es wird zu $5.5$~\% vezinst. Am15. April werden CHF~$4500$ zur{\”{u}}ckbezahlt. Wie sieht die Abrechnung (Restschuld und Zinsen) auf den $15$~Januar des folgenden Jahres aus?

\item Ein guter Bienenz{\”{u}}cheter antwortet auf die Frage nach der Anzahl seiner Bienen: „H{\”{a}}tte ich einen Viertel weniger Bienen aber noch $5000$ dazu, so w{\”{u}}rde die Anzahl der Bienen um so viel unter $100000$ liegen, wie sie jetzt {\”{u}}ber $100000$ liegt.“ Wieviele Bienen hat der Bienenz{\”{u}}chter?

\end{enumerate}
\center{\tiny  \smiley~Viel Erfolg!~\smiley}
\end{document}

Prüfungsvorlage A | Arithmetik | Prozentrechnen | Gymnasialstufe 1

Das Prozentrechnen ist bis ins hohe Alter nicht einfach. Das wurde mir umso mehr klar, als ich das selber unterrichten musste. Alles ist eben relativ.

Anbei eine Prüfung 0815 in pdf: PrüfungProzentrechung.pdf

Hier die LaTeX-Vorlage:

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{wasysym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
% http://blogs.ethz.ch/rindi/
\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% TITEL
% https://blogs.ethz.ch/rindi
%*****************************

\titlehead{}
\textbf{Pr{\”{u}}fung} Prozentrechnung / Zinssatz \hfill Klassen 2 Re/Ri Kantonsschule XY 2007\\
\\
Name:………………………………….Vorname: …………………………………………..Klasse: …….\\
\\
% https://blogs.ethz.ch/rindi
%*****************************

Du hast 90 Minuten Zeit. Achte auf eine saubere Darstellung. Der L{\”{o}}sungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh{\”{o}}rt: die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Gleichung
ist vorhanden und sauber gel{\”{o}}st und am Schluss steht ein Antwortsatz.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7&8&9& Total\\
\hline
Punkte  &3&3&3&2&3&3&3&3&3&26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Anna kauft eine Stereoanlage f{\”{u}}r CHF~$1795$. Bei Barzahlung erh{\”{a}}lt sie $3$~\% Skonto. Berechne Skonto und den Preis bei Barbezahlung.

\item Bruno hat einen goldenen Ring gefunden und ihn beim Fundb{\”{u}}ro abgegeben. Nach einigen Tagen erh{\”{a}}lt er CHF~$30$ Finderlohn. Der Finderlohn betr{\”{a}}gt $5$~\% vom Wert des Fundst{\”{u}}cks. Auf welchen Wert wurde der Ring gesch{\”{u}}tzt?

\item Der Preis f{\”{u}}r eine Hose wird um $15$~\% auf CHF~$131.75$ herabgesetzt. Berechne den alten Preis.

\item Bei einer Verkehrskontrolle wurden bei $27$ von $180$ Autos falsch eingestellte Scheinwerfer festgestellt. Bei wieviel Prozent der Autos war dies der Fall?

\item Herr Choppard kauft Waren im Betrag von CHF~$2400$. Er erh{\”{a}}lt $10$~\% Rabatt und bei Bezahlung der Rechnung innert $30$~Tagen zudem noch $2$~\% Skonto. Wieviel hat er zu bezahlen, wenn ihm Rabatt und Skonto gew{\”{a}}hrt werden?

\item Ein Barkeeper mischt $1$~dl eines $30$~\%igen Alkohols mit $1.5$ dl eines $40$~\%igen Alkohols. Wie viele dl Orangensaft muss er dazumischen, damit er seinem Gast ein Getr{\”{a}}nk mit $20$~\% Alkoholgehalt servieren kann?

\item Die Einwohnerzahl einer Stadt nahm in einem Jahr um $2.4$~\% ab, im darauffolgenden Jahr um $3.5$~\% zu und betrug dann $83204$. Wie hoch war die Einwohnerzahl zwei Jahre zuvor?

\item Am 15. Mai wird ein Darlehen von CHF~$6000$ aufgenommen. Es wird zu $5.5$~\% vezinst. Am15. September werden CHF~$4500$ zur{\”{u}}ckbezahlt. Wie sieht die Abrechnung (Restschuld und Zinsen) auf den $15$~Mai des folgenden Jahres aus?

\item Ein kauziger Schafhirte antwortet auf die Frage nach der Anzahl seiner Tiere: H{\”{a}}tte ich viermal so viele Tiere und noch $5$ dazu, so w{\”{u}}rde die Anzahl der Tiere um so viel {\”{u}}ber $100$ liegen, wie sie jetzt unter $100$ liegt.

\end{enumerate}
\center{\tiny  \smiley~Viel Erfolg!~\smiley}
\end{document}

Prüfungsvorlage B | Geometrie | Zentrische Streckung – Strahlensätze

Prüfung in pdf: BogenB.pdf

Vorlage in LaTeX:

% A. PRAEAMBEL  http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. Ambel  http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\titlehead{
\hfill Genf, der \today}

\title{\sc{Geometrie Bogen }B}
\author{\sc{Zentrische Streckung – Strahlens{\”{a}}tze}}
\date{\normalsize {Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. Aufgaben  http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\textbf{Aufgabe 0:\hfill 1 Punkt}\\

Was ist das deutsche Wort f{\”{u}}r \emph{kongruent}?\\

Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

\begin{tabbing}

\quad \=
a)         \quad \=
\kill

a) Welche Verwandschaft besteht zwischen Ihrem Geo-Dreieck und dem\\ Wandtafel-Geo-Dreieck?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Durch welche Konstruktion kann das einte Dreieck in das andere\\ {\”{u}}bergef{\”{u}}hrt werden?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
c) Angenommen, die Hypotenusen des Wandtafeldreieckes seien sechsmal so\\
lang wie bei Ihrem Geo-Dreieck. Wie verhalten sich dann die L{\”{a}}ngen\\ der Katheten? \emph{Begr{\”{u}}nden} Sie!\\

\end{tabbing}

Antwort: ……………………………………………………………………………………………..\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 2: \hfill 4 Punkte}\\

\begin{enumerate}

\item Zeichnen Sie unten auf diesen Fragebogen ein \emph{allgemeines Dreieck}. Beschriften Sie die Ecken mit $U$, $V$ und $W$.

\item Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal ein dazu ein \emph{nicht} kongruentes aber \emph{{\”{a}}hnliches} Dreieck $\triangle (U’,V’,W’)$, so dass die beiden Dreiecke sich nicht {\”{u}}berschneiden. Mit ganz genauem \emph{Konstruktionsbericht}!

\item Geben Sie 3 \emph{Eigenschaften} der Zentrischen Streckung an.

\end{enumerate}

\textbf{L{\”{o}}sung der Aufgabe 1:}
\vfill
1. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\

2. Eigenschaft ……………………………………………………………………………………………………\\

3. Eigenschaft ……………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 6 Punkte}\\

Strecken sie die Gerade $g$ am Zentrum $S$ zentrisch mit dem Streckungsfaktor $k=2$\\
Machen Sie einen Konstruktionsbericht.\\
Beschriften Sie die Konstruktion vollst{\”{a}}ndig.\\

\begin{multicols}{2}

\setlength{\unitlength}{7cm}
\begin{picture}(1,1)

\put(.3 ,-.07){\line(-1, 3){.4}}
\put(0,0){\line(1,1){1}}
\put(0,0){\line(1,2){.5}}
\put(0,0){\line(1,3){.3333}}
\put(0,0){\line(1,4){.25}}
\put(0,0){\line(1,5){.2}}
\put(0,0){\line(1,6){.1667}}
\put(0,0){\line(2,1){1}}
\put(0,0){\line(2,3){.6667}}
\put(0,0){\line(2,5){.4}}
\put(0,0){\line(3,1){1}}
\put(0,0){\line(3,2){1}}
\put(0,0){\line(3,4){.75}}
\put(0,0){\line(3,5){.6}}
\put(0,0){\line(4,1){1}}
\put(0,0){\line(4,3){1}}
\put(0,0){\line(4,5){.8}}
\put(0,0){\line(5,1){1}}
\put(0,0){\line(5,2){1}}
\put(0,0){\line(5,3){1}}
\put(0,0){\line(5,4){1}}
\put(0,0){\line(5,6){.8333}}
\put(0,0){\line(6,1){1}}
\put(0,0){\line(6,5){1}}

\put(-0.05,-0.05){$S$}
\put(0,0.65){$g$}

\end{picture}

KONSTRUKTIONSBERICHT:\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\

\end{multicols}

Erkl{\”{a}}ren Sie den \emph{Ersten Strahlensatz} anhand der Konstruktion in \emph{Worten} und in einem zweiten Schritt mit \emph{mathematischen Formeln}:\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage

\textbf{Aufgabe 4:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Der antike griechische Philosoph und Mathematiker Thales von Milet hat mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenl{\”{a}}nge die H{\”{o}}he der {\”{a}}gyptischen Cheopspyramide ermittelt:

\includegraphics[width= 1\columnwidth]{Pyram.jpg}
\begin{tabbing}

\quad \=
Abstand des Stabes von der Pyramide: \quad \=
\kill
H{\”{o}}he des Stabes: \> \>$AB=1.62$ m\\
Schattenl{\”{a}}nge des Stabes: \> \>$ZA=2$ m\\
Abstand des Stabes von der Pyramide: \>\> $AC=63$ m\\
Seitenl{\”{a}}nge der Pyramide: \>\> $CD=230$ m\\
\end{tabbing}
Berechnen Sie die H{\”{o}}he der Cheopspyramide mit Hilfe des Strahlensatzes.\\
\\

\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Sie stehen $1$ m vor einem Spiegel. Sie schliessen ein Auge und bemerken, dass das Bild an der Wand in Ihrem R{\”{u}}cken genau von Ihrem Kopf (Kopfdurchmesser etwa 26 cm) abgedekt ist. Das Bild ist 1.2 m hoch. Berechnen Sie die L{\”{a}}nge des Zimmers!
\\

\textbf{Aufgabe 6:\hfill 5 Punkte}\\
\begin{multicols}{2}
Wie Gross ist der Fl{\”{a}}cheninhalt des Trapezes $P,Q,K,L$?\\
Kreisradius $r=22.5$ km\\
$AC= 36$ km\\
$AP=PQ=QR$\\
\\
\includegraphics[width= 0.8\columnwidth]{SkiZze.jpg}
\\

\end{multicols}

\vfill

%\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\unitlength}{1cm}
%\begin{picture}(4,4)
%\thicklines
%\put(0,0){\line(0,1){3}}
%\put(0,0){\line(1,0){4}}
%\put(4,0){\line(0,1){2}}
%\put(4,0){\line(-4,3){4}}
%\put(4,2){\line(-4,-2){4}}
%\put(2.4,0){\line(0,1){1.2}}
%\put(0.05,1.5){$3m$}
%\put(4.05,1){$2m$}
%\put(1.25,0.07){$d$}
%\put(2.45,0.3){$h$}

%\end{picture}
%\\
%\\
%In einem Garten stehen im Abstand $d$ zwei Pf{\”{a}}hle
%mit den H{\”{o}}hen $3$ m und $2$ m. Jede Pfahlspitze ist mit
%dem Fuss des anderen Pfahls mit einer Schnur verbunden.
%In welcher H{\”{o}}he $h$ treffen sich die Schn{\”{u}}re?
%Wie h{\”{a}}ngt die H{\”{o}}he $h$ vom Abstand $d$ der Pf{\”{a}}hle ab?\\
%\end{multicols}
%Loesung 1.2m h unabh{\”{a}}ngig von d

%\vfill

\newpage

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\end{document}

Anbei die nötigen Graphiken:

Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet
Skizze des Ortsbogens
Fig. 1: Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet
Fig. 2: Skizze des Ortsbogens

Prüfungsvorlage A | Geometrie | Zentrische Streckung – Strahlensätze

Prüfung in pdf: BogenA.pdf

Anbei das File in LaTeX:

% A. PRÄAMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
%******************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. Titel http://blogs.ethz.ch/rindi/
%******************************************

\titlehead{
\hfill Genf, der \today}

\title{\sc{Geometrie Bogen A}}
\author{\sc{Zentrische Streckung – Strahlens{\”{a}}tze}}
\date{\normalsize {Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. Text http://blogs.ethz.ch/rindi/
%******************************************

\textbf{Aufgabe 0:\hfill 1 Punkt}\\

Was ist das deutsche Wort f{\”{u}}r \emph{kongruent}?\\

Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

\begin{tabbing}

\quad \=
a)         \quad \=
\kill

a) Welche Verwandschaft besteht zwischen Ihrem Geo-Dreieck und dem\\ Wandtafel-Geo-Dreieck?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Durch welche Konstruktion kann das einte Dreieck in das andere\\ {\”{u}}bergef{\”{u}}hrt werden?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
c) Angenommen, die Kathete des Wandtafeldreieckes sei f{\”{u}}nfmal so\\
lang wie bei Ihrem Geo-Dreieck. Wie verhalten sich dann die L{\”{a}}ngen\\ der Hypotenusen? \emph{Begr{\”{u}}nden} Sie!\\

\end{tabbing}

Antwort: ……………………………………………………………………………………………..\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 2: \hfill 4 Punkte}\\

\begin{enumerate}

\item Zeichnen Sie unten auf diesen Fragebogen ein \emph{allgemeines Dreieck}. Beschriften Sie die Ecken mit $P$, $Q$ und $R$.

\item Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal ein dazu ein \emph{nicht} kongruentes aber \emph{{\”{a}}hnliches} Dreieck $\triangle (P’,Q’,R’)$, so dass die beiden Dreiecke sich nicht berschneiden. Mit ganz genauem \emph{Konstruktionsbericht}!

\item Geben Sie 3 \emph{Eigenschaften} der Zentrischen Streckung an.

\end{enumerate}

\textbf{L{\”{o}}sung der Aufgabe 1:}\\
\vfill

1. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\

2. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\

3. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 6 Punkte}\\
\\
Strecken sie die Gerade $g$ am Zentrum $S$ zentrisch mit dem Streckungsfaktor $k=2$\\
Machen Sie einen Konstruktionsbericht.\\
Beschriften Sie die Konstruktion vollst{\”{a}}ndig.\\

\begin{multicols}{2}

\setlength{\unitlength}{7cm}
\begin{picture}(1,1)

\put(.3 ,-.07){\line(-1, 3){.4}}
\put(0,0){\line(1,1){1}}
\put(0,0){\line(1,2){.5}}
\put(0,0){\line(1,3){.3333}}
\put(0,0){\line(1,4){.25}}
\put(0,0){\line(1,5){.2}}
\put(0,0){\line(1,6){.1667}}
\put(0,0){\line(2,1){1}}
\put(0,0){\line(2,3){.6667}}
\put(0,0){\line(2,5){.4}}
\put(0,0){\line(3,1){1}}
\put(0,0){\line(3,2){1}}
\put(0,0){\line(3,4){.75}}
\put(0,0){\line(3,5){.6}}
\put(0,0){\line(4,1){1}}
\put(0,0){\line(4,3){1}}
\put(0,0){\line(4,5){.8}}
\put(0,0){\line(5,1){1}}
\put(0,0){\line(5,2){1}}
\put(0,0){\line(5,3){1}}
\put(0,0){\line(5,4){1}}
\put(0,0){\line(5,6){.8333}}
\put(0,0){\line(6,1){1}}
\put(0,0){\line(6,5){1}}

\put(-0.05,-0.05){$S$}
\put(0,0.65){$g$}

\end{picture}

KONSTRUKTIONSBERICHT:\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
\end{multicols}

Erkl{\”{a}}ren Sie den \emph{Zweiten Strahlensatz} anhand der Konstruktion in \emph{Worten} und in einem zweiten Schritt mit \emph{mathematischen Formeln}:\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage

\textbf{Aufgabe 4:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Der antike griechische Philosoph und Mathematiker Thales von Milet hat mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenl{\”{a}}nge die H{\”{o}}he der {\”{a}}gyptischen Cheopspyramide ermittelt:

\includegraphics[width= 1\columnwidth]{Pyram.jpg}
\begin{tabbing}

\quad \=
Abstand des Stabes von der Pyramide: \quad \=
\kill
H{\”{o}}he des Stabes: \> \>$AB=1.63$ m\\
Schattenl{\”{a}}nge des Stabes: \> \>$ZA=2$ m\\
Abstand des Stabes von der Pyramide: \>\> $AC=63$ m\\
Seitenl{\”{a}}nge der Pyramide: \>\> $CD=230$ m\\
\end{tabbing}
Berechnen Sie die H{\”{o}}he der Cheopspyramide mit Hilfe des Strahlensatzes.\\
\\

\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Sie stehen $1$ m vor einem Spiegel. Sie schliessen ein Auge und bemerken, dass das Bild an der Wand in Ihrem R{\”{u}}cken genau von Ihrem Kopf (Kopfdurchmesser etwa 24 cm) abgedekt ist. Das Bild ist 1.2 m hoch. Berechnen Sie die L{\”{a}}nge des Zimmers!
\\

\textbf{Aufgabe 6:\hfill 5 Punkte}
\begin{multicols}{2}
Wie Gross ist der Fl{\”{a}}cheninhalt des Trapezes $P,Q,K,L$?\\
Kreisradius $r=22.5$ km\\
$AC= 36$ km\\
$AP=PQ=QR$\\
\\
\includegraphics[width= 0.8\columnwidth]{SkiZze.jpg}
\\

\end{multicols}

\vfill

%\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\unitlength}{1cm}
%\begin{picture}(4,4)
%\thicklines
%\put(0,0){\line(0,1){3}}
%\put(0,0){\line(1,0){4}}
%\put(4,0){\line(0,1){2}}
%\put(4,0){\line(-4,3){4}}
%\put(4,2){\line(-4,-2){4}}
%\put(2.4,0){\line(0,1){1.2}}
%\put(0.05,1.5){$3m$}
%\put(4.05,1){$2m$}
%\put(1.25,0.07){$d$}
%\put(2.45,0.3){$h$}

%\end{picture}
%\\
%\\
%In einem Garten stehen im Abstand $d$ zwei Pf{\”{a}}hle
%mit den H{\”{o}}hen $3$ m und $2$ m. Jede Pfahlspitze ist mit
%dem Fuss des anderen Pfahls mit einer Schnur verbunden.
%In welcher H{\”{o}}he $h$ treffen sich die Schn{\”{u}}re?
%Wie h{\”{a}}ngt die H{\”{o}}he $h$ vom Abstand $d$ der Pf{\”{a}}hle ab?\\
%\end{multicols}
%Loesung 1.2m h unabh{\”{a}}ngig von d

%\vfill

\newpage

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\end{document}

Anbei die nötigen Graphiken:

Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet

Fig. 1: Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet

Skizze des Ortsbogens

Fig. 2: Ortsbogen

Prüfungsvorlage | Geometrie | Der Kreis

Formal ausgedrückt lautet die Definition für einen Kreis k in der Ebene E mit Radius r und Kreismittelpunkt M:

k=\{ x \in E : \quad ||\bar{Mx}|| = r \}.

Anbei eine Prüfung auf Gymnasialstufe 1: Geometrieprüfung “Kreis” [pdf, 243KB]

Hier die Mac LaTeX Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
%**********************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}  \selectlanguage{ngerman}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt

% B. TITEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
%**********************************************

\titlehead{
\hfill Kantonsschule XY, der 6. Mai 2007}

\title{\sc{Examen in Geometrie\\ Der Kreis $\bigodot$}}
%\author{\normalsize{Name, Vorname und Klasse: ………………………………………………………….}}
\date{\tiny}
\maketitle

% C. TEST http://blogs.ethz.ch/rindi/
%**********************************************

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{Begriffe.jpg}
\caption{Begriffe am Kreis.}\label{begr}
\end{figure}

\begin{tabbing}

\textbf{1.} \= Gib die mathematischen Begriffe f{\”{u}}r \textbf{A, d, e, k, M, r, s, t }und \textbf{U} der Fig. \ref{begr}  genau an. \hfill \=(1 P)\\
\\
\textbf{2.} Berechne den Fl{\”{a}}cheninhalt eines Halbkreises mit dem Durchmesser $10$ km. \>\>(1 P)\\
\\
\textbf{3.} Finde den Kreisumfang des Kreises mit der Kreisfl{\”{a}}che 6.28 cm$^2$.\>\>(1 P)\\
\\
$\mathbb{ \pi}$. Pi ist eine irrationale Zahl. Was heisst das?\>\>(1P)\\
\\
\textbf{4.} Wie lassen sich Kreisbogenl{\”{a}}nge \emph{und} Kreissektorfl{\”{a}}che berechnen,\\
\>wenn man den zugeh{\”{o}}rigen Radius und den Zentriwinkel kennt? \>(2 P)\\
\\
\textbf{5.} Ein Sektorbogen ist dreimal so lang wie der Radius. Wie gross ist der Zentriwinkel?\> \>(2 P)\\
\\
\textbf{6.} Welchen Weg legt ein Punkt auf dem {\”{a}}quator ($r=6370$ km) aufgrund der\\
\>Erdrotation in einer Stunde zur{\”{u}}ck? \>(1 P)\\
\\
\textbf{7.} Der Minutenzeiger am Bahnhof in Paris ist $3$ m lang. Der Stundenzeiger weist\\
\>eine L{\”{a}}nge von $2$ m auf. Welchen Sektorfl{\”{a}}cheninhalt {\”{u}}berstreichen jeweils\\
\>die Zeiger in $12$ Minuten?  \>(2 P)\\
\\
\textbf{8.} \>In der Fig. \ref{slm} sind sechs Halbkreise gezeichnet. Von Mal zu Mal wird der jeweilige \\ \>Durchmesser halbiert. Berechne algebraisch die Bogenl{\”{a}}ngen f{\”{u}}r die ersten\\
\>drei Halbkreise. Ergibt sich hier eine Regel? \>(2 P)\\
\\
\>Bonus: Stell Dir vor, man w{\”{u}}rde unendlich viele solche Halbkreise, wie in der Figur,\\
\> angedeutet, aneinander reihen. W{\”{a}}re die gesamte L{\”{a}}nge aller Kreisbogen zusammen\\
\>endlich oder unendlich? Um den Punkt zu holen, musst Du einen Grund angeben.\>(1 P)\\
\\
\textbf{9.} \>Schraffiere und berechne in Fig. \ref{fl} folgende Fl{\”{a}}che:\\
\>“Fl{\”{a}}che des Dreieckes ABC ohne die Fl{\”{a}}che des Inkreises”.\\
\>Tipp zur L{\”{o}}sung: Denke an zwei aneinander gef{\”{u}}gte Geodreiecke.\>(4 P)\\
\\
\textbf{10.} \=Wir haben zwei Kreise: $\odot(M_{1},r_{1})$ und $\odot(M_{2},r_{2})$. Der erste Kreis
hat einen doppelt\\
\> so grossen Radius wie der zweite, d.h. $r_{1}=2r_{2}$. Wie ist es nun mit den Fl{\”{a}}chen?\\
\> Ist es richtig, dass $A_{1}=2A_{2}$ gilt? Begr{\”{u}}nde Dein Urteil mit einem Beispiel.\>(2 P)\\
\\
\textbf{11.} \>Bei einem Fahrrad hat der vordere Zahnradkranz einen Durchmesser von $18$ cm\\
\>und der  Durchmesser des kleineren, hinteren Zahnradkranzes misst $3$ cm.\\
\>Die R{\”{a}}der haben einen Durchmesser von $54$ cm.  Welchen Weg legt das Fahrrad\\
\>bei einer vollen Pedalenumdrehung zur{\”{u}}ck? \>(4 P)\\
\\
\textbf{12.} \>Erkl{\”{a}}re 2 verschiedene Methoden, wie man $\pi$ ann{\”{a}}hernd berechnen kann.\\
\>Mache gut beschriftete Zeichnungen dazu!\>(4 P)\\
\end{tabbing}

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=3.0cm]{circ.jpg}
%\caption{.}\label{circ}
\end{figure}

\newpage
\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics[width=4cm]{Slalom.jpg}
\caption{Die Strecke $\overline{AB}$ ist der Durchmesser $d=2r$ des gr{\”{o}}ssten Halbkreises.}\label{slm}
\end{figure}

\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{fla.jpg}
\caption{Das Dreieck ABC ist gleichschenklig und rechtwinklig. Die Schenkel verlaufen parallel zu den Achsen des karthesischen Koordinatensystems. Der Radius des eingezeichneten Inkreises betr{\”{a}}gt $1$ m.}\label{fl}
\end{figure}

\end{document}

Anbei die dazu benötigten Figures:

Begriffe am Kreis

Fig. 1: Begriffe am Kreis

Verzierung, Optische Täuschung am Kreis

Verzierung, Optische Täuschung am Kreis

Halbkreise

Fig. 2: Halbkreise

fla.jpg

Fig. 3: fla.jpg

PS: Bevor Archimedes v. Syrakus umgebracht worden ist, hat er noch gesagt:

Μή μού τούς κύκλους τάραττε. – Noli turbare circulos meos. – Zerstör mir meine Kreise nicht.