Prüfungsvorlage mit Lösung | Analysis | Differentialrechnung | Differezialregeln | Ableitungsregeln

Eine Prüfungsvorlage in pdf: Prüfung Differenzialrechung.pdf

Die Lösung in pdf: Lösung Differenzialrechnung.pdf

Anbei die LaTeX Version:

% A. PRAEAMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman,french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{wasysym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt
\selectlanguage{ngerman}

% B. TITELSEITE UND INHALTSVERZEICHNIS http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *********************************************************************

\titlehead{}
\textbf{Prf\”ung} Differenzial / Ableitungsregeln \hfill Klassen 5Ra/5Lc Kantonsschule 2010\\
\\
Name:………………………………….Vorname: …………………………………………..Klasse: …….\\
\\
% C. TEST http://blogs.ethz.ch/rindi/
% ************************************
Sie haben 90 Minuten Zeit. Achten Sie auf eine saubere Darstellung. Der L\”osungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh\”ort: Die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Gleichungen
sind vorhanden und sauber gel\”ost und am Schluss steht ein Antwortsatz.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7& Total\\ \hline
Punkte  &4&4&4&4&4&4&2& 26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Bestimmen Sie die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=\frac{x}{x-3} \quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{1}{x^2+3} \quad
\mathrm{c)} \quad y=\sqrt{9-x^{2}} \quad
\mathrm{d)} \quad y=\sqrt{x-2} \quad
\end{displaymath}

\item Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ f\”ur $x\rightarrow \infty$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=3^{-x} \quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{x^2+1}{x^2+2} \quad
\mathrm{c)} \quad y=\sqrt{x^{2}-4} \quad
\mathrm{d)} \quad y=\frac{(2x-1)^2}{2x^2+1} \quad
\end{displaymath}

\item Bilden Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ in der Umgebung von $x=a$ und bringen Sie ihn erstens in eine m\”oglichst einfache Form und zweitens ermitteln Sie den Differentialquotienten der Funktion an der Stelle $x=a$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=\frac{1}{x} \quad
\mathrm{b)} \quad y=(2x+1)^2 \quad
\end{displaymath}

\item Bestimmen Sie die 1. Ableitungsfunktion $f^{\prime}:x\rightarrow f^{\prime}(x)=y$\\ der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ mit den Ableitungsregeln.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad f: y=x^2+3 \quad
\mathrm{b)} \quad f: y=2x^3 \quad
\mathrm{c)} \quad f: y=\frac{x}{x-2} \quad
\mathrm{d)} \quad f: y=\frac{x-2}{x} \quad
\end{displaymath}

\item Wie heisst die lineare Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt P?
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=x^2,\; P=(2,y_{p})\quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{x^2}{2}-x ,\; P=(1,y_{p})\quad
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\mathrm{c)} \quad y=x^3+2x,\; P=(-2,y_{p})\quad
\mathrm{d)} \quad y=\frac{x+3}{2x} ,\; P=(1,y_{p})\quad
\end{displaymath}

\item Der Graph der Funktion $f$ ist auf der R\”uckseite dargestellt. Skizzieren Sie den Graphen der zugeh\”origen Ableitungsfunktion $f^{\prime}$.

\item Zu einer der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung in der Physik: Die Funktion, welche die Zeit gegen die Position aufzeichnet sei $x(t)$. (a) Beweisen Sie, dass die erste Ableitung dieser Positionsfunktion, $x^{\prime}(t)$, die Geschwindigkeitsfunktion, $v(t)$, in Abh\”angigkeit der Zeit ist. Hilfe: Man schreibe den Differenzialquotienten inklusive der Sorten [km] f\”ur die Position und [h] f\”ur die Zeit und argumentiere mit physikalischen Grundkenntnissen. (b) Was ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfuntion (beziehungsweise die zweite Ableitung der Positionsfunktion)?

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{gr.JPG}
\caption{Darstellungen der Graphen f\”ur die Aufgabe 6.}
\label{}
\end{center}
\end{figure}

\end{enumerate}
Fakultative Besch\”aftigung f\”ur schnellere: Berechne die vierte Ableitung der Cosinusfunktion, $cos(x)^{\prime \prime \prime \prime}$.
%\center{\tiny  \smiley~Viel Erfolg!~\smiley}
\end{document}

Und die zugehörige Zeichnung gr.JPG:

Funktionen zu denen die Ableitungen gefunden werden sollen.

Prüfungsvorlage 3 | Geometrie | Pythagoras

Aha, noch eine Prüfung bez. Pythagoras. Zur Abwechslung kann man ja auch ein Examen schreiben. Ich glaube fast, die Schüler hatten 2h Zeit.

a^2+b^2=c^2.

Anbei ein Exempel: Geometrie Examen Pythagoras.pdf

Anbei die LaTeX-Version:

% http://blogs.ethz.ch/rindi/
% A. PRÄAMBEL
%*****************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\selectlanguage{ngerman}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt

% B. TITELSEITE UND INHALTSVERZEICHNIS
%*****************************

\titlehead{
\hfill Kantonsschule XY, der 24. April}

\title{\sc{Examen in Geometrie}}
\author{\sc{Der Satz von Pythagoras}}
\date{\normalsize{Name, Vorname und Klasse: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. TEST
%*****************************
\begin{tabbing}
\textbf{1.} \= Finde die Diagonalenlänge eines Rechteckes mit den Seiten $5.7$ und $17.6$ cm. \=(1 P)\\
\\
\textbf{2.} Berechne den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Diagonalen $d = 10$ cm. \>\>(1 P)\\
\\
\textbf{3.} Finde die Körperdiagonalenlänge eines Quaders mit den Seitenlängen:\\
\>$3$ cm, $5$ cm und $4$ cm. \>(1 P)\\
\\
\textbf{4.} Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $10$ cm.\\
\>Finde die Höhe $h$ und den Flächeninhalt $A$. \>(2 P)\\
\\
\textbf{5.} Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basisseite von $70$ mm.\\
\>Die rechtwinklig dazu stehende Höhe misst $110$ mm.\\
\>Berechne die Länge einer der beiden anderen Seiten. \>(1 P)\\
\\
\textbf{6.} Ein rechtwinkliges Dreieck hat folgende Hypothenusenabschnitte:\\
\>$p = 3$ dm und $q = 13.5$ dm. Wie lang sind die Seiten und die Höhe $h_{c}$? \>(2 P)\\
\\
\textbf{7.} Eine Leiter ist $7$ m lang. Sie steht $2$ m weit weg von der Mauer.\\
\>Wie weit nach oben reicht sie? \>(1 P)\\
\\
\textbf{8.} Ein Schiff fährt aus dem Hafen von Hong Kong $50$ Seemeilen in südliche\\
\> Richtung. Dann dreht das Schiff auf westlichen Kurs und fährt 130 Seemeilen.\\
\>Wie weit ist das Schiff jetzt von Hong Kong entfernt?\>(1 P)\\
\\
\textbf{9.} Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen: $0.3$ inches,\\
\> $0.4$ inches und $0.12$ inches. Hat es einen rechten Winkel?\>(1 P)\\
\\
\textbf{10.}  Wie weit liegen die Koordinatenpunkte $(-2;3)$ und $(5;-2)$ auseinander?\>\>(1 P)\\
\end{tabbing}

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{selfsimilar.jpg}
\caption{Fraktale Form}\label{self}
\end{figure}

\begin{tabbing}
\textbf{11.} \=Diese Figur ist selbstähnlich. Sie entsteht, indem man in ein kleines Quadrat ein grosses\\
\>Quadrat einbeschreibt. Die Ecken des umbeschriebenen (kleinen) Quadrates liegen \\
\>jeweils in der Mitte des jeweiligen einbeschreibenden (grösseren) Quadrates. Dieser Prozess\\
\>kann immerfort wiederholt werden, bis man die Quadrate gar nicht mehr zeichnen kann!\=\\
\>Wir nehmen an, dass das erste Quadrat eine Seitenlänge von $14$ cm hat.\\
\>Wie lang sind die Seiten des 2-ten und 3-ten Quadrates?\>(4 P)\\
\\
\>Joker: Gibt es eine Beziehung in der Seitenlängensequenz? Wenn ja, wie lange ist\\
\>die Seite des 10-ten Quadrates?\>(2 P)
\end{tabbing}
\vspace{2cm}
\begin{center}
\tiny Viel Erfolg!
\end{center}

\newpage

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{coordsyst.jpg}
\caption{Euklidische Stadt}\label{city}
\end{figure}
\begin{tabbing}
\textbf{12.} \=In der Stadt von Euklid gibt es ein Hotel bei $(-4;8)$, ein Restaurant findet man bei\=\\
\>$(6;8)$ und das Hallenstadion steht beim Punkte $(6;-6)$. Markiere nun diese “Locations” \\
\>  mit Farbe ins Koordinatensystem.\>(1 P)\\
\\
\>Die “Funky-Punky” Rock-Band ist mit vielen Fans im Hotel (für Signaturen etc.).\\
\> Noch vor dem Live-Konzert geht eine Gruppe von Fans mit dem Taxi ins Restaurant\\
\>Pizza essen. Im selben Moment wird der “Funky-Punky” Rock-Band ein 5-Gang Menu \\
\>serviert. Danach fliegt die Band mit dem Helikopter zum Hallenstadion.\\
\>Die Fans im Restaurant nehmen nach dem Essen den Bus dorthin.\\
\\
\>Wieviele Einheiten fahren die Fans vom Hotel ins Restaurant?\>(1 P)\\
\>Wieviele Einheiten fahren die Fans vom Restaurant zum Hallenstadion?\>(1 P)\\
\>Wieviele Einheiten fliegt die Band vom Hotel zum Hallenstadion?\>(1 P)\\
\\
\textbf{13.} Die Pyramide von Gizeh hat ein Quadrat mit der Seitenlänge von $226$ m als Basis.\\
\>Ihre Höhe beträgt $144$ m. Wie lang sind die vier noch unbekannten Seitenlängen?\>(4 P)
\end{tabbing}
\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[width=4cm]{SquarePyramid.jpg}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{pyth.jpg}
\caption{Geometrischer Beweis des Satzes von Pythagoras.}\label{struct}
\end{figure}
\begin{tabbing}
\textbf{12.} \=Die Aufgabe besteht darin, dass Du eigens (zum Abschluss des Themas)\\
\>nocheinmal den Satz des Pythagoras herleitetst. Die Figur ist ein eigentlicher\\
\> Beweis des Satzes. Was ist also noch zu tun?\\
\end{tabbing}
\begin{itemize}
\item Vollständige Beschriftung der Zeichnung.
\item \textbf{Schriftliches Ausformulieren der Beweisidee.}\hfill (4 P)
\end{itemize}
\vspace{2cm}
Vergiss nicht, mit dem Wort KONGRUENZ (deckungsgleich) zu argumentieren!

\end{document}

Anbei die benötigten Figures:

Fig.1 Fraktale Form
Fig. 1: Fraktale From

Euklidische Stadt
Fig. 2: Euklidische Stadt
Pyramide von Gizeh
Fig. 3: Pyramide von Gizeh
Pytharoras
Fig. 4: Pytharoras

Die Usepackeges sind etwas Appel lastig… z.B. \usepackage[applemac]{inputenc} Für Windowssysteme nimmt man ansinew.