Prüfungsvorlage mit Lösung | Analysis | Differentialrechnung | Differezialregeln | Ableitungsregeln

Eine Prüfungsvorlage in pdf: Prüfung Differenzialrechung.pdf

Die Lösung in pdf: Lösung Differenzialrechnung.pdf

Anbei die LaTeX Version:

% A. PRAEAMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
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\begin{document}
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% B. TITELSEITE UND INHALTSVERZEICHNIS http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *********************************************************************

\titlehead{}
\textbf{Prf\”ung} Differenzial / Ableitungsregeln \hfill Klassen 5Ra/5Lc Kantonsschule 2010\\
\\
Name:………………………………….Vorname: …………………………………………..Klasse: …….\\
\\
% C. TEST http://blogs.ethz.ch/rindi/
% ************************************
Sie haben 90 Minuten Zeit. Achten Sie auf eine saubere Darstellung. Der L\”osungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh\”ort: Die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Gleichungen
sind vorhanden und sauber gel\”ost und am Schluss steht ein Antwortsatz.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7& Total\\ \hline
Punkte  &4&4&4&4&4&4&2& 26 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Bestimmen Sie die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=\frac{x}{x-3} \quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{1}{x^2+3} \quad
\mathrm{c)} \quad y=\sqrt{9-x^{2}} \quad
\mathrm{d)} \quad y=\sqrt{x-2} \quad
\end{displaymath}

\item Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ f\”ur $x\rightarrow \infty$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=3^{-x} \quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{x^2+1}{x^2+2} \quad
\mathrm{c)} \quad y=\sqrt{x^{2}-4} \quad
\mathrm{d)} \quad y=\frac{(2x-1)^2}{2x^2+1} \quad
\end{displaymath}

\item Bilden Sie den Differenzenquotienten der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ in der Umgebung von $x=a$ und bringen Sie ihn erstens in eine m\”oglichst einfache Form und zweitens ermitteln Sie den Differentialquotienten der Funktion an der Stelle $x=a$.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=\frac{1}{x} \quad
\mathrm{b)} \quad y=(2x+1)^2 \quad
\end{displaymath}

\item Bestimmen Sie die 1. Ableitungsfunktion $f^{\prime}:x\rightarrow f^{\prime}(x)=y$\\ der Funktion $f:x\rightarrow f(x)=y$ mit den Ableitungsregeln.
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad f: y=x^2+3 \quad
\mathrm{b)} \quad f: y=2x^3 \quad
\mathrm{c)} \quad f: y=\frac{x}{x-2} \quad
\mathrm{d)} \quad f: y=\frac{x-2}{x} \quad
\end{displaymath}

\item Wie heisst die lineare Gleichung der Tangente im Kurvenpunkt P?
\begin{displaymath}
\mathrm{a)} \quad y=x^2,\; P=(2,y_{p})\quad
\mathrm{b)} \quad y=\frac{x^2}{2}-x ,\; P=(1,y_{p})\quad
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\mathrm{c)} \quad y=x^3+2x,\; P=(-2,y_{p})\quad
\mathrm{d)} \quad y=\frac{x+3}{2x} ,\; P=(1,y_{p})\quad
\end{displaymath}

\item Der Graph der Funktion $f$ ist auf der R\”uckseite dargestellt. Skizzieren Sie den Graphen der zugeh\”origen Ableitungsfunktion $f^{\prime}$.

\item Zu einer der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung in der Physik: Die Funktion, welche die Zeit gegen die Position aufzeichnet sei $x(t)$. (a) Beweisen Sie, dass die erste Ableitung dieser Positionsfunktion, $x^{\prime}(t)$, die Geschwindigkeitsfunktion, $v(t)$, in Abh\”angigkeit der Zeit ist. Hilfe: Man schreibe den Differenzialquotienten inklusive der Sorten [km] f\”ur die Position und [h] f\”ur die Zeit und argumentiere mit physikalischen Grundkenntnissen. (b) Was ist die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfuntion (beziehungsweise die zweite Ableitung der Positionsfunktion)?

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=16cm]{gr.JPG}
\caption{Darstellungen der Graphen f\”ur die Aufgabe 6.}
\label{}
\end{center}
\end{figure}

\end{enumerate}
Fakultative Besch\”aftigung f\”ur schnellere: Berechne die vierte Ableitung der Cosinusfunktion, $cos(x)^{\prime \prime \prime \prime}$.
%\center{\tiny  \smiley~Viel Erfolg!~\smiley}
\end{document}

Und die zugehörige Zeichnung gr.JPG:

Funktionen zu denen die Ableitungen gefunden werden sollen.

Prüfungsvorlage mit Lösung | Analysis | Induktion | Differential

Eine Prüfungsvorlage in pdf: InduktionDifferentialExamen.pdf

Anbei die LaTeX-Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL UND PR{\”{u}}FUNG https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Gen{\`{e}}ve, le \today}

\title{\sc{Vollst{\”{a}}ndige Induktion\\  $\partial$ifferential}}
\author{\sc{Klasse 5a und 5b}}
\date{\normalsize{Name und Vorname: ……………………………………………………}}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

“\emph{George glaubt}”, sagt der Mathematiker, “\emph{dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, daß 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar F{\”{a}}lle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund best{\”{a}}tigt.}”\\

Obschon George richtig rechnet, macht er einen Fehler. Welchen?\\

Antwort: ………………………………………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

Erkl{\”{a}}ren Sie in in \emph{eigenen} Worten \emph{pr{\”{a}}zis} das \emph{Prinzip} und den \emph{Aufbau} der \emph{Vollst{\”{a}}ndigen Induktion}.\\

Erkl{\”{a}}rung: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 2:\hfill 4 Punkte}\\

Walker behauptet:

\begin{displaymath}
1+2+3+4+5+ … +n= \frac{n(n+1)}{2}+7
\end{displaymath}

Der Induktionsschritt funktioniert n{\”{a}}mlich tats{\”{a}}chlich! Jetzt ist Walker felsenfest {\”{u}}berzeugt, dass seine Vermutung richtig ist.\\

Ihre Aufgabe besteht darin, dass sie Walker erkl{\”{a}}ren, was er falsch macht. Danach beweisen Sie Ihm mit der Beweismethode der Vollst{\”{a}}ndigen Induktion, dass gilt:\\

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
\\
Erkl{\”{a}}rung: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
Beweis:\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) An welchen Stellen ist die folgende Funktion unstetig?
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{x^2}{(x-\pi)(3-x)}
\end{displaymath}
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
Begr{\”{u}}ndung: ………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Ermitteln Sie folgende Grenzwerte:\\
\\
1.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
2.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2+0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
Rechnung:…………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
c) Falls die Funktion $\frac{x^2-x-2}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ stetig fotsetzbar ist, dann schliessen Sie die “L{\”{u}}cke” mit einem Wert f{\”{u}}r $f(2)$ so, dass sie stetig in $\textbf{R}$ ist.\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 4:\hfill 8 Punkte}\\

a) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} allgemein f{\”{u}}r $x_{0}=a$ einer Funktion $f(x)$. Und machen sie eine passende  und gut beschriftete Zeichnung dazu.\\
\\
Differenzenquotient: ………………………………………………………………………………..\\
\\
Zeichnung:
\vfill
b) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} der Sinusfunktion f{\”{u}}r $x_{0}=0$ (ohne ihn zu vereinfachen).\\
\\
Differenzenquotient: ………………………………………………………………………………..\\
\\
d) Was ist die geometrische Bedeutung des \emph{Differentialquotienten} (der Ableitung)? Verdeutlichen Sie Ihre Aussage mit passenden Zeichnungen (Zeichentrickfilm)!\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\vfill
c) Schreiben Sie den \emph{Differentialquotienten} der Cosinusfunktion auf, ohne ihn auszurechnen.\\
\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Skizzieren Sie den Graph der Sinusfunktion $sin(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$.\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 1.Ableitung genannt). Tipp: Konzentrieren Sie sich auf die Wendepunkte, die Steigung der Tangente an den Sinus ist maximal gleich eins!\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 2.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 3.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin^{(IV)}(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$(auch kurz 4.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Was ist Ihre Vermutung? Geben Sie f{\”{u}}r jeden erhaltenen Graph eine m{\”{o}}gliche analytische Formel an!
\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 6:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Berechnen Sie den Differentialquotienten der gegebenen Funktion an der Stelle $x_{0}=1$:\\
\\
a)\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2}x^2
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2-2x
\end{displaymath}
\\
\\
Bestimmen Sie analytisch die 1.Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:\\
\\
c)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2+3
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f(x)=2x^3
\end{displaymath}
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
…………………………………………………………………………………………………………\\
\\
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…………………………………………………………………………………………………………\\
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\end{document}

_______________________________________________

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Anbei die Lösung in pdf: LosungenInduktionDifferential.pdf

Anbei die Lösung in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\titlehead{
\hfill Gen{\`{e}}ve, le \today}

\title{\sc{Vollst{\”{a}}ndige Induktion\\  $\partial$ifferential}}
\author{\sc{Klasse 5a und 5b}}
\date{\normalsize{L{\”{o}}sungen (ohne Gew{\”{a}}hr)}}
\maketitle

% C. Aufgaben mit Lösungen https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

“\emph{George glaubt}”, sagt der Mathematiker, “\emph{dass 60 durch alle Zahlen teilbar ist. Er bemerkt, daß 60 durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Er untersucht noch ein paar F{\”{a}}lle wie 10, 20 und 30, die, wie er sagt, aufs Geratewohl herausgegriffen sind. Da 60 auch durch diese teilbar ist, betrachtet er seine Vermutung als hinreichend durch den experimentellen Befund best{\”{a}}tigt.}”\\

Obschon George richtig rechnet, macht er einen Fehler. Welchen?\\

Antwort:  Er schliesst vom Spezialfall auf das Allgemeine und macht eine nicht vollst{\”{a}}ndige Induktion. Seine Aussage kann mit einem einzigen Gegenbeispiel widerlegt werden: $60/59$ ist nicht $\in \textbf{N}$
\\

Erkl{\”{a}}ren Sie in in \emph{eigenen} Worten \emph{pr{\”{a}}zis} das \emph{Prinzip} und den \emph{Aufbau} der \emph{Vollst{\”{a}}ndigen Induktion}.\\

Erkl{\”{a}}rung: Man schliesst von einer speziellen auf eine allgemeine Aussage. Der Beweis besteht aus einer Verankerung und einem Induktionsschluss oder Induktionsschritt.
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 2:\hfill 4 Punkte}\\

Walker behauptet:

\begin{displaymath}
1+2+3+4+5+ … +n
=
\frac
{n(n+1)}
{2}
+
7
\end{displaymath}

Der Induktionsschritt funktioniert n{\”{a}}mlich tats{\”{a}}chlich! Jetzt ist Walker felsenfest {\”{u}}berzeugt, dass seine Vermutung richtig ist.\\

Ihre Aufgabe besteht darin, dass sie Walker erkl{\”{a}}ren, was er falsch macht. Danach beweisen Sie Ihm mit der Beweismethode der Vollst{\”{a}}ndigen Induktion, dass gilt:\\

\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
\\
Erkl{\”{a}}rung: Walker vergisst die Verankerung. Seine Vermutung trifft f{\”{u}}r kein $n \in \textbf{N}$ zu.\\
\\
Beweis:\\
\\
Verankerung: $n=1$\\
\begin{displaymath}
1=\frac{1(1+1)}{2}
\end{displaymath}
Induktionsschritt:\\
\\
Voraussetzung:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n}  i = \frac{n(n+1)}{2}
\end{displaymath}
Behauptung:
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n+1}  i = \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
\end{displaymath}
Beweis:
\begin{displaymath}
\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) An welchen Stellen ist die folgende Funktion unstetig?
\begin{displaymath}
f(x)=\frac{x^2}{(x-\pi)(3-x)}
\end{displaymath}
Antwort: Bei $\pi$ und $3$.\\
Begr{\”{u}}ndung: Da die Funktion bei $\pi$ und $3$ nicht definiert ist (geteilt durch Null).\\
\\
b) Ermitteln Sie folgende Grenzwerte:\\
\\
1.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2-0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
2.
\begin{displaymath}
\lim_{x \to 2+0} \frac{x^2-x-2}{x-2}
\end{displaymath}
\\
Rechnung:\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2-\triangle x)^2-(2-\triangle x)-2}{(2-\triangle x)-2} =3
\end{displaymath}
\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0} \frac{(2+\triangle x)^2-(2+\triangle x)-2}{(2+\triangle x)-2}=3
\end{displaymath}
\\
\vfill
c) Falls die Funktion $\frac{x^2-x-2}{x-2}$ an der Stelle $x_{0}=2$ stetig fotsetzbar ist, dann schliessen Sie die “L{\”{u}}cke” mit einem Wert f{\”{u}}r $f(2)$ so, dass sie stetig in $\textbf{R}$ ist.\\
\vfill
Antwort: Sie ist stetig fortsetzbar mit $f(2)=3$.
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 4:\hfill 8 Punkte}\\

a) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} allgemein f{\”{u}}r $x_{0}=a$ einer Funktion $f(x)$. Und machen sie eine passende  und gut beschriftete Zeichnung dazu.\\
\\
Differenzenquotient:
\begin{displaymath}
\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}
\end{displaymath}
oder:
\begin{displaymath}
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}
\end{displaymath}
Zeichnung:
\vfill
b) Schreiben Sie den \emph{Differenzenquotienten} der Sinusfunktion f{\”{u}}r $x_{0}=0$ (ohne ihn zu vereinfachen).\\
\\
Differenzenquotient:\\
\begin{displaymath}
\frac{sin(0+\triangle x)-sin(0)}{\triangle x}
\end{displaymath}
oder:
\begin{displaymath}
\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}
\end{displaymath}
\\
d) Was ist die geometrische Bedeutung des \emph{Differentialquotienten} (der Ableitung)? Verdeutlichen Sie Ihre Aussage mit passenden Zeichnungen (Zeichentrickfilm)!\\
\\
Es ist die Steigung $m=\lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}=\frac{dy}{dx}$ der Tangente an den Graph.\\

\vfill
c) Schreiben Sie den \emph{Differentialquotienten} der Cosinusfunktion auf, ohne ihn auszurechnen.\\
\\
\begin{displaymath}
\lim_{\triangle x \to 0}\frac{cos(x+\triangle x)-cos(x)}{\triangle x}
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Skizzieren Sie den Graph der Sinusfunktion $sin(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$.\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 1.Ableitung genannt). Tipp: Konzentrieren Sie sich auf die Wendepunkte, die Steigung der Tangente an den Sinus ist maximal gleich eins!\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 2.Ableitung genannt, es ist also die Ableitung der Ableitung).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin”'(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$ (auch kurz 3.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Skizzieren Sie den Graph der zugeh{\”{o}}rigen Ableitungsfunktion $sin^{(IV)}(x)$ f{\”{u}}r $x\in\left[-\pi, \pi \right]$(auch kurz 4.Ableitung genannt).\\
\setlength{\unitlength}{1.3cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\put(-3.5,0){\vector(1,0){7}}
\put(3.6,-0.1){$x$}
\put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
\multiput(-3.5,1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\multiput(-3.5,-1)(0.4,0){18}
{\line(1,0){0.2}}
\put(0.2,1.4)
{$y$}
\end{picture}

Was ist Ihre Vermutung? Geben Sie f{\”{u}}r jeden erhaltenen Graph eine m{\”{o}}gliche analytische Formel an!
\\
\begin{displaymath}
sin'(x)=cos(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin”(x)=cos'(x)=-sin(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin”'(x)=cos”(x)=-sin'(x)=-cos(x)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
sin””(x)=cos”'(x)=-sin”(x)=-cos'(x)=sin(x)
\end{displaymath}
\newpage
% *************************************************
\textbf{Aufgabe 6:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Berechnen Sie den Differentialquotienten der gegebenen Funktion an der Stelle $x_{0}=1$:\\
\\
a)\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{2}x^2
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2-2x
\end{displaymath}
\\
\\
Bestimmen Sie die 1.Ableitungsfunktion $f'(x)$ der Funktion $f(x)$:\\
\\
c)
\begin{displaymath}
f(x)=x^2+3
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f(x)=2x^3
\end{displaymath}
\\
L{\”{o}}sungen:\\
\\
a)
\begin{displaymath}
f'(1)=1
\end{displaymath}
\\
b)
\begin{displaymath}
f'(1)=2-2=0
\end{displaymath}
\\
c)
\begin{displaymath}
f'(x)=2x
\end{displaymath}
\\
d)
\begin{displaymath}
f'(x)=6 x^2
\end{displaymath}
\end{document}