Prüfungsvorlage B | Geometrie | Zentrische Streckung – Strahlensätze

Prüfung in pdf: BogenB.pdf

Vorlage in LaTeX:

% A. PRAEAMBEL  http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\begin{document}

% B. Ambel  http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\titlehead{
\hfill Genf, der \today}

\title{\sc{Geometrie Bogen }B}
\author{\sc{Zentrische Streckung – Strahlens{\”{a}}tze}}
\date{\normalsize {Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. Aufgaben  http://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\textbf{Aufgabe 0:\hfill 1 Punkt}\\

Was ist das deutsche Wort f{\”{u}}r \emph{kongruent}?\\

Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

\begin{tabbing}

\quad \=
a)         \quad \=
\kill

a) Welche Verwandschaft besteht zwischen Ihrem Geo-Dreieck und dem\\ Wandtafel-Geo-Dreieck?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Durch welche Konstruktion kann das einte Dreieck in das andere\\ {\”{u}}bergef{\”{u}}hrt werden?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
c) Angenommen, die Hypotenusen des Wandtafeldreieckes seien sechsmal so\\
lang wie bei Ihrem Geo-Dreieck. Wie verhalten sich dann die L{\”{a}}ngen\\ der Katheten? \emph{Begr{\”{u}}nden} Sie!\\

\end{tabbing}

Antwort: ……………………………………………………………………………………………..\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 2: \hfill 4 Punkte}\\

\begin{enumerate}

\item Zeichnen Sie unten auf diesen Fragebogen ein \emph{allgemeines Dreieck}. Beschriften Sie die Ecken mit $U$, $V$ und $W$.

\item Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal ein dazu ein \emph{nicht} kongruentes aber \emph{{\”{a}}hnliches} Dreieck $\triangle (U’,V’,W’)$, so dass die beiden Dreiecke sich nicht {\”{u}}berschneiden. Mit ganz genauem \emph{Konstruktionsbericht}!

\item Geben Sie 3 \emph{Eigenschaften} der Zentrischen Streckung an.

\end{enumerate}

\textbf{L{\”{o}}sung der Aufgabe 1:}
\vfill
1. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\

2. Eigenschaft ……………………………………………………………………………………………………\\

3. Eigenschaft ……………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 6 Punkte}\\

Strecken sie die Gerade $g$ am Zentrum $S$ zentrisch mit dem Streckungsfaktor $k=2$\\
Machen Sie einen Konstruktionsbericht.\\
Beschriften Sie die Konstruktion vollst{\”{a}}ndig.\\

\begin{multicols}{2}

\setlength{\unitlength}{7cm}
\begin{picture}(1,1)

\put(.3 ,-.07){\line(-1, 3){.4}}
\put(0,0){\line(1,1){1}}
\put(0,0){\line(1,2){.5}}
\put(0,0){\line(1,3){.3333}}
\put(0,0){\line(1,4){.25}}
\put(0,0){\line(1,5){.2}}
\put(0,0){\line(1,6){.1667}}
\put(0,0){\line(2,1){1}}
\put(0,0){\line(2,3){.6667}}
\put(0,0){\line(2,5){.4}}
\put(0,0){\line(3,1){1}}
\put(0,0){\line(3,2){1}}
\put(0,0){\line(3,4){.75}}
\put(0,0){\line(3,5){.6}}
\put(0,0){\line(4,1){1}}
\put(0,0){\line(4,3){1}}
\put(0,0){\line(4,5){.8}}
\put(0,0){\line(5,1){1}}
\put(0,0){\line(5,2){1}}
\put(0,0){\line(5,3){1}}
\put(0,0){\line(5,4){1}}
\put(0,0){\line(5,6){.8333}}
\put(0,0){\line(6,1){1}}
\put(0,0){\line(6,5){1}}

\put(-0.05,-0.05){$S$}
\put(0,0.65){$g$}

\end{picture}

KONSTRUKTIONSBERICHT:\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\

\end{multicols}

Erkl{\”{a}}ren Sie den \emph{Ersten Strahlensatz} anhand der Konstruktion in \emph{Worten} und in einem zweiten Schritt mit \emph{mathematischen Formeln}:\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage

\textbf{Aufgabe 4:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Der antike griechische Philosoph und Mathematiker Thales von Milet hat mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenl{\”{a}}nge die H{\”{o}}he der {\”{a}}gyptischen Cheopspyramide ermittelt:

\includegraphics[width= 1\columnwidth]{Pyram.jpg}
\begin{tabbing}

\quad \=
Abstand des Stabes von der Pyramide: \quad \=
\kill
H{\”{o}}he des Stabes: \> \>$AB=1.62$ m\\
Schattenl{\”{a}}nge des Stabes: \> \>$ZA=2$ m\\
Abstand des Stabes von der Pyramide: \>\> $AC=63$ m\\
Seitenl{\”{a}}nge der Pyramide: \>\> $CD=230$ m\\
\end{tabbing}
Berechnen Sie die H{\”{o}}he der Cheopspyramide mit Hilfe des Strahlensatzes.\\
\\

\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Sie stehen $1$ m vor einem Spiegel. Sie schliessen ein Auge und bemerken, dass das Bild an der Wand in Ihrem R{\”{u}}cken genau von Ihrem Kopf (Kopfdurchmesser etwa 26 cm) abgedekt ist. Das Bild ist 1.2 m hoch. Berechnen Sie die L{\”{a}}nge des Zimmers!
\\

\textbf{Aufgabe 6:\hfill 5 Punkte}\\
\begin{multicols}{2}
Wie Gross ist der Fl{\”{a}}cheninhalt des Trapezes $P,Q,K,L$?\\
Kreisradius $r=22.5$ km\\
$AC= 36$ km\\
$AP=PQ=QR$\\
\\
\includegraphics[width= 0.8\columnwidth]{SkiZze.jpg}
\\

\end{multicols}

\vfill

%\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\unitlength}{1cm}
%\begin{picture}(4,4)
%\thicklines
%\put(0,0){\line(0,1){3}}
%\put(0,0){\line(1,0){4}}
%\put(4,0){\line(0,1){2}}
%\put(4,0){\line(-4,3){4}}
%\put(4,2){\line(-4,-2){4}}
%\put(2.4,0){\line(0,1){1.2}}
%\put(0.05,1.5){$3m$}
%\put(4.05,1){$2m$}
%\put(1.25,0.07){$d$}
%\put(2.45,0.3){$h$}

%\end{picture}
%\\
%\\
%In einem Garten stehen im Abstand $d$ zwei Pf{\”{a}}hle
%mit den H{\”{o}}hen $3$ m und $2$ m. Jede Pfahlspitze ist mit
%dem Fuss des anderen Pfahls mit einer Schnur verbunden.
%In welcher H{\”{o}}he $h$ treffen sich die Schn{\”{u}}re?
%Wie h{\”{a}}ngt die H{\”{o}}he $h$ vom Abstand $d$ der Pf{\”{a}}hle ab?\\
%\end{multicols}
%Loesung 1.2m h unabh{\”{a}}ngig von d

%\vfill

\newpage

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\end{document}

Anbei die nötigen Graphiken:

Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet
Skizze des Ortsbogens
Fig. 1: Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet
Fig. 2: Skizze des Ortsbogens

Prüfungsvorlage A | Geometrie | Zentrische Streckung – Strahlensätze

Prüfung in pdf: BogenA.pdf

Anbei das File in LaTeX:

% A. PRÄAMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
%******************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\usepackage[pdftex]{graphicx}
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\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. Titel http://blogs.ethz.ch/rindi/
%******************************************

\titlehead{
\hfill Genf, der \today}

\title{\sc{Geometrie Bogen A}}
\author{\sc{Zentrische Streckung – Strahlens{\”{a}}tze}}
\date{\normalsize {Name und Vorname: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. Text http://blogs.ethz.ch/rindi/
%******************************************

\textbf{Aufgabe 0:\hfill 1 Punkt}\\

Was ist das deutsche Wort f{\”{u}}r \emph{kongruent}?\\

Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 4 Punkte}\\

\begin{tabbing}

\quad \=
a)         \quad \=
\kill

a) Welche Verwandschaft besteht zwischen Ihrem Geo-Dreieck und dem\\ Wandtafel-Geo-Dreieck?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
b) Durch welche Konstruktion kann das einte Dreieck in das andere\\ {\”{u}}bergef{\”{u}}hrt werden?\\
\\
Antwort: ……………………………………………………………………………………….\\
\\
c) Angenommen, die Kathete des Wandtafeldreieckes sei f{\”{u}}nfmal so\\
lang wie bei Ihrem Geo-Dreieck. Wie verhalten sich dann die L{\”{a}}ngen\\ der Hypotenusen? \emph{Begr{\”{u}}nden} Sie!\\

\end{tabbing}

Antwort: ……………………………………………………………………………………………..\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\

…………………………………………………………………………………………………………….\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 2: \hfill 4 Punkte}\\

\begin{enumerate}

\item Zeichnen Sie unten auf diesen Fragebogen ein \emph{allgemeines Dreieck}. Beschriften Sie die Ecken mit $P$, $Q$ und $R$.

\item Konstruieren Sie mit Zirkel und Lineal ein dazu ein \emph{nicht} kongruentes aber \emph{{\”{a}}hnliches} Dreieck $\triangle (P’,Q’,R’)$, so dass die beiden Dreiecke sich nicht berschneiden. Mit ganz genauem \emph{Konstruktionsbericht}!

\item Geben Sie 3 \emph{Eigenschaften} der Zentrischen Streckung an.

\end{enumerate}

\textbf{L{\”{o}}sung der Aufgabe 1:}\\
\vfill

1. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\

2. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\

3. Eigenschaft …………………………………………………………………………………………………\\
\newpage
\textbf{Aufgabe 3:\hfill 6 Punkte}\\
\\
Strecken sie die Gerade $g$ am Zentrum $S$ zentrisch mit dem Streckungsfaktor $k=2$\\
Machen Sie einen Konstruktionsbericht.\\
Beschriften Sie die Konstruktion vollst{\”{a}}ndig.\\

\begin{multicols}{2}

\setlength{\unitlength}{7cm}
\begin{picture}(1,1)

\put(.3 ,-.07){\line(-1, 3){.4}}
\put(0,0){\line(1,1){1}}
\put(0,0){\line(1,2){.5}}
\put(0,0){\line(1,3){.3333}}
\put(0,0){\line(1,4){.25}}
\put(0,0){\line(1,5){.2}}
\put(0,0){\line(1,6){.1667}}
\put(0,0){\line(2,1){1}}
\put(0,0){\line(2,3){.6667}}
\put(0,0){\line(2,5){.4}}
\put(0,0){\line(3,1){1}}
\put(0,0){\line(3,2){1}}
\put(0,0){\line(3,4){.75}}
\put(0,0){\line(3,5){.6}}
\put(0,0){\line(4,1){1}}
\put(0,0){\line(4,3){1}}
\put(0,0){\line(4,5){.8}}
\put(0,0){\line(5,1){1}}
\put(0,0){\line(5,2){1}}
\put(0,0){\line(5,3){1}}
\put(0,0){\line(5,4){1}}
\put(0,0){\line(5,6){.8333}}
\put(0,0){\line(6,1){1}}
\put(0,0){\line(6,5){1}}

\put(-0.05,-0.05){$S$}
\put(0,0.65){$g$}

\end{picture}

KONSTRUKTIONSBERICHT:\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
…………………………………………………………..\\
\\
\end{multicols}

Erkl{\”{a}}ren Sie den \emph{Zweiten Strahlensatz} anhand der Konstruktion in \emph{Worten} und in einem zweiten Schritt mit \emph{mathematischen Formeln}:\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

\newpage

\textbf{Aufgabe 4:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Der antike griechische Philosoph und Mathematiker Thales von Milet hat mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenl{\”{a}}nge die H{\”{o}}he der {\”{a}}gyptischen Cheopspyramide ermittelt:

\includegraphics[width= 1\columnwidth]{Pyram.jpg}
\begin{tabbing}

\quad \=
Abstand des Stabes von der Pyramide: \quad \=
\kill
H{\”{o}}he des Stabes: \> \>$AB=1.63$ m\\
Schattenl{\”{a}}nge des Stabes: \> \>$ZA=2$ m\\
Abstand des Stabes von der Pyramide: \>\> $AC=63$ m\\
Seitenl{\”{a}}nge der Pyramide: \>\> $CD=230$ m\\
\end{tabbing}
Berechnen Sie die H{\”{o}}he der Cheopspyramide mit Hilfe des Strahlensatzes.\\
\\

\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Sie stehen $1$ m vor einem Spiegel. Sie schliessen ein Auge und bemerken, dass das Bild an der Wand in Ihrem R{\”{u}}cken genau von Ihrem Kopf (Kopfdurchmesser etwa 24 cm) abgedekt ist. Das Bild ist 1.2 m hoch. Berechnen Sie die L{\”{a}}nge des Zimmers!
\\

\textbf{Aufgabe 6:\hfill 5 Punkte}
\begin{multicols}{2}
Wie Gross ist der Fl{\”{a}}cheninhalt des Trapezes $P,Q,K,L$?\\
Kreisradius $r=22.5$ km\\
$AC= 36$ km\\
$AP=PQ=QR$\\
\\
\includegraphics[width= 0.8\columnwidth]{SkiZze.jpg}
\\

\end{multicols}

\vfill

%\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\unitlength}{1cm}
%\begin{picture}(4,4)
%\thicklines
%\put(0,0){\line(0,1){3}}
%\put(0,0){\line(1,0){4}}
%\put(4,0){\line(0,1){2}}
%\put(4,0){\line(-4,3){4}}
%\put(4,2){\line(-4,-2){4}}
%\put(2.4,0){\line(0,1){1.2}}
%\put(0.05,1.5){$3m$}
%\put(4.05,1){$2m$}
%\put(1.25,0.07){$d$}
%\put(2.45,0.3){$h$}

%\end{picture}
%\\
%\\
%In einem Garten stehen im Abstand $d$ zwei Pf{\”{a}}hle
%mit den H{\”{o}}hen $3$ m und $2$ m. Jede Pfahlspitze ist mit
%dem Fuss des anderen Pfahls mit einer Schnur verbunden.
%In welcher H{\”{o}}he $h$ treffen sich die Schn{\”{u}}re?
%Wie h{\”{a}}ngt die H{\”{o}}he $h$ vom Abstand $d$ der Pf{\”{a}}hle ab?\\
%\end{multicols}
%Loesung 1.2m h unabh{\”{a}}ngig von d

%\vfill

\newpage

………………………………………………………………………………………………………………\\

………………………………………………………………………………………………………………\\

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………………………………………………………………………………………………………………\\

\end{document}

Anbei die nötigen Graphiken:

Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet

Fig. 1: Pyramidenberechnung nach Thales v. Milet

Skizze des Ortsbogens

Fig. 2: Ortsbogen

Prüfungsvorlage | Geometrie | Der Kreis

Formal ausgedrückt lautet die Definition für einen Kreis k in der Ebene E mit Radius r und Kreismittelpunkt M:

k=\{ x \in E : \quad ||\bar{Mx}|| = r \}.

Anbei eine Prüfung auf Gymnasialstufe 1: Geometrieprüfung “Kreis” [pdf, 243KB]

Hier die Mac LaTeX Vorlage:

% A. PR{\”{a}}AMBEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
%**********************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}  \selectlanguage{ngerman}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
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\begin{document}
\parindent 0pt

% B. TITEL http://blogs.ethz.ch/rindi/
%**********************************************

\titlehead{
\hfill Kantonsschule XY, der 6. Mai 2007}

\title{\sc{Examen in Geometrie\\ Der Kreis $\bigodot$}}
%\author{\normalsize{Name, Vorname und Klasse: ………………………………………………………….}}
\date{\tiny}
\maketitle

% C. TEST http://blogs.ethz.ch/rindi/
%**********************************************

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{Begriffe.jpg}
\caption{Begriffe am Kreis.}\label{begr}
\end{figure}

\begin{tabbing}

\textbf{1.} \= Gib die mathematischen Begriffe f{\”{u}}r \textbf{A, d, e, k, M, r, s, t }und \textbf{U} der Fig. \ref{begr}  genau an. \hfill \=(1 P)\\
\\
\textbf{2.} Berechne den Fl{\”{a}}cheninhalt eines Halbkreises mit dem Durchmesser $10$ km. \>\>(1 P)\\
\\
\textbf{3.} Finde den Kreisumfang des Kreises mit der Kreisfl{\”{a}}che 6.28 cm$^2$.\>\>(1 P)\\
\\
$\mathbb{ \pi}$. Pi ist eine irrationale Zahl. Was heisst das?\>\>(1P)\\
\\
\textbf{4.} Wie lassen sich Kreisbogenl{\”{a}}nge \emph{und} Kreissektorfl{\”{a}}che berechnen,\\
\>wenn man den zugeh{\”{o}}rigen Radius und den Zentriwinkel kennt? \>(2 P)\\
\\
\textbf{5.} Ein Sektorbogen ist dreimal so lang wie der Radius. Wie gross ist der Zentriwinkel?\> \>(2 P)\\
\\
\textbf{6.} Welchen Weg legt ein Punkt auf dem {\”{a}}quator ($r=6370$ km) aufgrund der\\
\>Erdrotation in einer Stunde zur{\”{u}}ck? \>(1 P)\\
\\
\textbf{7.} Der Minutenzeiger am Bahnhof in Paris ist $3$ m lang. Der Stundenzeiger weist\\
\>eine L{\”{a}}nge von $2$ m auf. Welchen Sektorfl{\”{a}}cheninhalt {\”{u}}berstreichen jeweils\\
\>die Zeiger in $12$ Minuten?  \>(2 P)\\
\\
\textbf{8.} \>In der Fig. \ref{slm} sind sechs Halbkreise gezeichnet. Von Mal zu Mal wird der jeweilige \\ \>Durchmesser halbiert. Berechne algebraisch die Bogenl{\”{a}}ngen f{\”{u}}r die ersten\\
\>drei Halbkreise. Ergibt sich hier eine Regel? \>(2 P)\\
\\
\>Bonus: Stell Dir vor, man w{\”{u}}rde unendlich viele solche Halbkreise, wie in der Figur,\\
\> angedeutet, aneinander reihen. W{\”{a}}re die gesamte L{\”{a}}nge aller Kreisbogen zusammen\\
\>endlich oder unendlich? Um den Punkt zu holen, musst Du einen Grund angeben.\>(1 P)\\
\\
\textbf{9.} \>Schraffiere und berechne in Fig. \ref{fl} folgende Fl{\”{a}}che:\\
\>“Fl{\”{a}}che des Dreieckes ABC ohne die Fl{\”{a}}che des Inkreises”.\\
\>Tipp zur L{\”{o}}sung: Denke an zwei aneinander gef{\”{u}}gte Geodreiecke.\>(4 P)\\
\\
\textbf{10.} \=Wir haben zwei Kreise: $\odot(M_{1},r_{1})$ und $\odot(M_{2},r_{2})$. Der erste Kreis
hat einen doppelt\\
\> so grossen Radius wie der zweite, d.h. $r_{1}=2r_{2}$. Wie ist es nun mit den Fl{\”{a}}chen?\\
\> Ist es richtig, dass $A_{1}=2A_{2}$ gilt? Begr{\”{u}}nde Dein Urteil mit einem Beispiel.\>(2 P)\\
\\
\textbf{11.} \>Bei einem Fahrrad hat der vordere Zahnradkranz einen Durchmesser von $18$ cm\\
\>und der  Durchmesser des kleineren, hinteren Zahnradkranzes misst $3$ cm.\\
\>Die R{\”{a}}der haben einen Durchmesser von $54$ cm.  Welchen Weg legt das Fahrrad\\
\>bei einer vollen Pedalenumdrehung zur{\”{u}}ck? \>(4 P)\\
\\
\textbf{12.} \>Erkl{\”{a}}re 2 verschiedene Methoden, wie man $\pi$ ann{\”{a}}hernd berechnen kann.\\
\>Mache gut beschriftete Zeichnungen dazu!\>(4 P)\\
\end{tabbing}

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=3.0cm]{circ.jpg}
%\caption{.}\label{circ}
\end{figure}

\newpage
\begin{figure}[t]
\centering
\includegraphics[width=4cm]{Slalom.jpg}
\caption{Die Strecke $\overline{AB}$ ist der Durchmesser $d=2r$ des gr{\”{o}}ssten Halbkreises.}\label{slm}
\end{figure}

\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[width=15cm]{fla.jpg}
\caption{Das Dreieck ABC ist gleichschenklig und rechtwinklig. Die Schenkel verlaufen parallel zu den Achsen des karthesischen Koordinatensystems. Der Radius des eingezeichneten Inkreises betr{\”{a}}gt $1$ m.}\label{fl}
\end{figure}

\end{document}

Anbei die dazu benötigten Figures:

Begriffe am Kreis

Fig. 1: Begriffe am Kreis

Verzierung, Optische Täuschung am Kreis

Verzierung, Optische Täuschung am Kreis

Halbkreise

Fig. 2: Halbkreise

fla.jpg

Fig. 3: fla.jpg

PS: Bevor Archimedes v. Syrakus umgebracht worden ist, hat er noch gesagt:

Μή μού τούς κύκλους τάραττε. – Noli turbare circulos meos. – Zerstör mir meine Kreise nicht.

Prüfungsvorlage 3 | Geometrie | Pythagoras

Aha, noch eine Prüfung bez. Pythagoras. Zur Abwechslung kann man ja auch ein Examen schreiben. Ich glaube fast, die Schüler hatten 2h Zeit.

a^2+b^2=c^2.

Anbei ein Exempel: Geometrie Examen Pythagoras.pdf

Anbei die LaTeX-Version:

% http://blogs.ethz.ch/rindi/
% A. PRÄAMBEL
%*****************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\selectlanguage{ngerman}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}
\parindent 0pt

% B. TITELSEITE UND INHALTSVERZEICHNIS
%*****************************

\titlehead{
\hfill Kantonsschule XY, der 24. April}

\title{\sc{Examen in Geometrie}}
\author{\sc{Der Satz von Pythagoras}}
\date{\normalsize{Name, Vorname und Klasse: …………………………………………………}}
\maketitle

% C. TEST
%*****************************
\begin{tabbing}
\textbf{1.} \= Finde die Diagonalenlänge eines Rechteckes mit den Seiten $5.7$ und $17.6$ cm. \=(1 P)\\
\\
\textbf{2.} Berechne den Flächeninhalt eines Quadrates mit der Diagonalen $d = 10$ cm. \>\>(1 P)\\
\\
\textbf{3.} Finde die Körperdiagonalenlänge eines Quaders mit den Seitenlängen:\\
\>$3$ cm, $5$ cm und $4$ cm. \>(1 P)\\
\\
\textbf{4.} Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge $10$ cm.\\
\>Finde die Höhe $h$ und den Flächeninhalt $A$. \>(2 P)\\
\\
\textbf{5.} Ein gleichschenkliges Dreieck hat eine Basisseite von $70$ mm.\\
\>Die rechtwinklig dazu stehende Höhe misst $110$ mm.\\
\>Berechne die Länge einer der beiden anderen Seiten. \>(1 P)\\
\\
\textbf{6.} Ein rechtwinkliges Dreieck hat folgende Hypothenusenabschnitte:\\
\>$p = 3$ dm und $q = 13.5$ dm. Wie lang sind die Seiten und die Höhe $h_{c}$? \>(2 P)\\
\\
\textbf{7.} Eine Leiter ist $7$ m lang. Sie steht $2$ m weit weg von der Mauer.\\
\>Wie weit nach oben reicht sie? \>(1 P)\\
\\
\textbf{8.} Ein Schiff fährt aus dem Hafen von Hong Kong $50$ Seemeilen in südliche\\
\> Richtung. Dann dreht das Schiff auf westlichen Kurs und fährt 130 Seemeilen.\\
\>Wie weit ist das Schiff jetzt von Hong Kong entfernt?\>(1 P)\\
\\
\textbf{9.} Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen: $0.3$ inches,\\
\> $0.4$ inches und $0.12$ inches. Hat es einen rechten Winkel?\>(1 P)\\
\\
\textbf{10.}  Wie weit liegen die Koordinatenpunkte $(-2;3)$ und $(5;-2)$ auseinander?\>\>(1 P)\\
\end{tabbing}

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{selfsimilar.jpg}
\caption{Fraktale Form}\label{self}
\end{figure}

\begin{tabbing}
\textbf{11.} \=Diese Figur ist selbstähnlich. Sie entsteht, indem man in ein kleines Quadrat ein grosses\\
\>Quadrat einbeschreibt. Die Ecken des umbeschriebenen (kleinen) Quadrates liegen \\
\>jeweils in der Mitte des jeweiligen einbeschreibenden (grösseren) Quadrates. Dieser Prozess\\
\>kann immerfort wiederholt werden, bis man die Quadrate gar nicht mehr zeichnen kann!\=\\
\>Wir nehmen an, dass das erste Quadrat eine Seitenlänge von $14$ cm hat.\\
\>Wie lang sind die Seiten des 2-ten und 3-ten Quadrates?\>(4 P)\\
\\
\>Joker: Gibt es eine Beziehung in der Seitenlängensequenz? Wenn ja, wie lange ist\\
\>die Seite des 10-ten Quadrates?\>(2 P)
\end{tabbing}
\vspace{2cm}
\begin{center}
\tiny Viel Erfolg!
\end{center}

\newpage

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{coordsyst.jpg}
\caption{Euklidische Stadt}\label{city}
\end{figure}
\begin{tabbing}
\textbf{12.} \=In der Stadt von Euklid gibt es ein Hotel bei $(-4;8)$, ein Restaurant findet man bei\=\\
\>$(6;8)$ und das Hallenstadion steht beim Punkte $(6;-6)$. Markiere nun diese “Locations” \\
\>  mit Farbe ins Koordinatensystem.\>(1 P)\\
\\
\>Die “Funky-Punky” Rock-Band ist mit vielen Fans im Hotel (für Signaturen etc.).\\
\> Noch vor dem Live-Konzert geht eine Gruppe von Fans mit dem Taxi ins Restaurant\\
\>Pizza essen. Im selben Moment wird der “Funky-Punky” Rock-Band ein 5-Gang Menu \\
\>serviert. Danach fliegt die Band mit dem Helikopter zum Hallenstadion.\\
\>Die Fans im Restaurant nehmen nach dem Essen den Bus dorthin.\\
\\
\>Wieviele Einheiten fahren die Fans vom Hotel ins Restaurant?\>(1 P)\\
\>Wieviele Einheiten fahren die Fans vom Restaurant zum Hallenstadion?\>(1 P)\\
\>Wieviele Einheiten fliegt die Band vom Hotel zum Hallenstadion?\>(1 P)\\
\\
\textbf{13.} Die Pyramide von Gizeh hat ein Quadrat mit der Seitenlänge von $226$ m als Basis.\\
\>Ihre Höhe beträgt $144$ m. Wie lang sind die vier noch unbekannten Seitenlängen?\>(4 P)
\end{tabbing}
\begin{figure}[b]
\centering
\includegraphics[width=4cm]{SquarePyramid.jpg}
\end{figure}
\newpage

\begin{figure}[]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{pyth.jpg}
\caption{Geometrischer Beweis des Satzes von Pythagoras.}\label{struct}
\end{figure}
\begin{tabbing}
\textbf{12.} \=Die Aufgabe besteht darin, dass Du eigens (zum Abschluss des Themas)\\
\>nocheinmal den Satz des Pythagoras herleitetst. Die Figur ist ein eigentlicher\\
\> Beweis des Satzes. Was ist also noch zu tun?\\
\end{tabbing}
\begin{itemize}
\item Vollständige Beschriftung der Zeichnung.
\item \textbf{Schriftliches Ausformulieren der Beweisidee.}\hfill (4 P)
\end{itemize}
\vspace{2cm}
Vergiss nicht, mit dem Wort KONGRUENZ (deckungsgleich) zu argumentieren!

\end{document}

Anbei die benötigten Figures:

Fig.1 Fraktale Form
Fig. 1: Fraktale From

Euklidische Stadt
Fig. 2: Euklidische Stadt
Pyramide von Gizeh
Fig. 3: Pyramide von Gizeh
Pytharoras
Fig. 4: Pytharoras

Die Usepackeges sind etwas Appel lastig… z.B. \usepackage[applemac]{inputenc} Für Windowssysteme nimmt man ansinew.

Prüfungsvorlage 2 | Geometrie | Pythagoras

Aufgabenblatt: Geometrie Blitzprüfung Pythagoras [pdf, 159KB]

Anbei der LaTeX-Code:

% http://blogs.ethz.ch/rindi/
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\selectlanguage{ngerman}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage[pdftex]{hyperref}
\usepackage{multicol}
\usepackage{rotating}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{color}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}

\titlehead{
\hfill Kantonsschule XY, der 29. M{\”{a}}rz}

\title{\sc{Geometrie}}
\author{\sc{Der Satz von Pythagoras}}
\date{\normalsize{Name, Vorname und Klasse: …………………………………………………}}
\maketitle

\textbf{Aufgabe 1:\hfill 2 Punkte}\\
\\
Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine $12$ cm lange Hypothenuse und eine halb so lange Kathete. Wie lang ist die andere Kathete?\\

\textbf{Aufgabe 2:\hfill 6 Punkte}\\
\\
a) Berechne den Fl\”{a}cheninhalt eines Quadrates mit der Diagonalen $d = 7$ cm.\\
\\
b) Berechne die L{\”{a}}nge einer K{\”{o}}rperdiagonalen eines Quaders mit den Seitenl{\”{a}}ngen:

\begin{center}
$a = 7$ cm, $b = 6$ cm und $c = 8$ cm.
\end{center}
\
c) Berechne im gleichseitigen Dreieck mit der Seite $a=10$ cm die H{\”{o}}he $h$ und den

Fl{\”{a}}cheninhalt $A$.\\

\textbf{Aufgabe 3:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Ein rechtwinkliges Dreieck hat folgende Hypothenusenabschnitte:
\begin{center}
$p = 3$ km und $q = 13.5$ km.
\end{center}
\
Wie lang sind die Seiten und die H{\”{o}}he $h_{c}$?\\

\textbf{Aufgabe 4:\hfill 2 Punkte}\\
\\
Wie lang ist die Luftseilbahn von M{\”{o}}rel ($800$ m.{\”{u}}.M.) nach Riederalp ($1900$ m.{\”{u}}.M.), wenn die Stationen, auf der Landkarte gemessen, $2600$ m  auseinander liegen?
\\
\begin{center}
\tiny Viel Erfolg!
\end{center}
\newpage

\textbf{Aufgabe 5:\hfill 4 Punkte}\\
\\
a) Berechne den Umfang, $U_{1}$, der Fig.\ref{u1}.\\
\\
b) Berechne den Umfang, $U_{2}$, der  Fig. \ref{u2}.\\
\begin{figure}[rh]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{umfang01.jpeg}
\caption{Umfangsberechnung.}\label{u1}
\end{figure}

\begin{figure}[rh]
\centering
\includegraphics[width=7cm]{umfang02.jpeg}
\caption{Umfangsberechnung.}\label{u2}
\end{figure}

\textbf{Aufgabe 6:\hfill 2 Punkte}\\
\\
Der Fl{\”{a}}cheninhalt der Fig.\ref{fl} betr{\”{a}}gt $32$ cm$^2$. Berechne $x$. \\
\\
\begin{figure}[rh]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{berechneX.jpeg}
\caption{Berechne $x$.}\label{fl}
\end{figure}

\newpage
\textbf{Aufgabe 7:\hfill 4 Punkte}\\
\\
Von einem Rhombus $ABCD$  (siehe Fig.\ref{rhus}) ist gegeben: Umfang $U = 68$ cm und Strecke $\overline{BD}=30$ cm. Berechne seinen Fl{\”{a}}cheninhalt.\\
\begin{figure}[rh]
\centering
\includegraphics[width=5cm]{raute.jpeg}
\caption{Rhombus/Raute.}\label{rhus}
\end{figure}

\textbf{Aufgabe 8:\hfill 6 Punkte}\\
\\
In einem Kreis mit der Fl{\”{a}}che $A=78.5$ cm$^2$ ist ein \emph{gleichschenkliges Dreieck einbeschrieben}. Die Eckpunkte des Dreiecks liegen auf der Kreislinie. Die Grundseite des Dreiecks ist eine Sehne mit der L{\”{a}}nge von $8$ cm.\\
\\
a) Berechne den Radius des Kreises. (Es gilt: $A=\pi r^2$).\\
\\
b) Berechne Abstand der Sehne vom Kreismittelunkt.\\
\\
c) Welchen Fl{\”{a}}cheninhalt hat das Dreieck?\\

\textbf{Aufgabe 9:\hfill 2 Bonuspunkte}\\
\\
Von einem Rhomboid $ABCD$ (siehe Fig.\ref{rhid}) ist gegeben: Umfang $U=96$ cm, die Strecke $\overline{AB}=35$ cm und die Fl{\”{a}}che $A=420$ cm$^2$. Wie lang sind die Strecken $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$?\\
\\
\begin{figure}[rh]
\centering
\includegraphics[width=4cm]{rhomboid.jpeg}
\caption{Rhomboid.}\label{rhid}
\end{figure}

\end{document}

Anbei die nötigen Figures:

Skizze für die Umfangsberechnung 01

Fig. Skizze für Umfangsberechnung 01

Skizze für Umfangsberechnung 02

Fig. 1: Skizze für Umfangsberechnung 02

Skizze zur Berechnung von X

Fig. 3: Skizze zur Berechnung von x

Raute

Fig. 4: Raute

Rhomboïd

Fig. 5: Rhomboïd

Prüfungsvorlage 1 | Geometrie | Pythagoras

Augabenblatt: Aufgabenblatt-Pythagoras [pdf, 215KB]

Anbei der LaTeX code:

% http://blogs.ethz.ch/rindi/
\documentclass[smallheadings,headsepline,10pt,a4paper]{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage[pdftex]{hyperref}
\usepackage{multicol}
\usepackage{rotating}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{color}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}

\title{Pythagoras}
\author{Klasse 2Ri Kantonsschule XY}
\date{24.04.2007}
\maketitle

\begin{figure}[htbp]
\centering
\includegraphics[width=1.5in]{PythagorasBueste.png}
\caption{Pythagoras von Samos (um 570 v. Chr., $\dag$  nach 510 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph und Mathematiker.}
\label{face}
\end{figure}

\section{Aufgabe}
Eure Aufgabe besteht darin, dass Ihr eigens (zum Abschluss des Themas) nocheinmal den Satz des Pythagoras herleitet. Die Arbeit wird eingezogen und bewertet mit einer halb zaehlenden Note.\\
Es stehen Euch zwei Zeichnungen zur Verfuegung. Die Zeichnungen sind eigentliche Beweise des Satzes. Was ist also noch zu tun? Man muss sich fuer einen Beweis entscheiden. Dann:\\

\begin{itemize}
\item Genaues Abzeichnen einer der Figuren.
\item Vollstaendige Beschriftung der Zeichnung.
\item Farbliche Gestaltung der Zeichnung.
\item \textbf{Schriftliches Ausformulieren der Beweisidee.}
\item Man darf mit dem Nachbar fluestern!
\item Es soll ein mathematisches KUNSTWERK geben!
\end{itemize}

\section{Geometrische Zeichnungen}
\begin{figure}[rh!]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{503px-Pythagore2.pdf}
\includegraphics[width=8cm]{Chinese_pythagoras.jpg}
\caption{Die erste Darstellung ist etwas einfacher! Die zweite Darstellung ist aus China! Vergiss nicht, mit dem Wort KONGRUENZ (deckungsgleich) zu argumentieren!}
\label{example1}
\end{figure}

\end{document}

Anbei die nötigen Figures:

Fig. 1: Büste von Pythagoras

Kongruenzfigur für den Beweis des Satzes von Pythagoras

Fig. 2: Kongruenzfigur zum Beweis des Satzes von Pythagoras

Figure that helps to proof Pythagoras a^2+b^2=c^2

Fig. 3: Chinesischer Beweis des Satzes von Pythagoras