Das Bertrand-Paradoxon

stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es verdeutlicht, dass reine Intuition in dieser Disziplin manchmal sehr irreführend ist und zu total verschiedenen Resultaten führen kann.

Das Problem wurde erstmals im Jahre 1888 von Joseph Bertrand in seinem Buch “Calcul des probabilités” formuliert. Bertrand hat drei verschiedene Antworten mit Wahrscheinlichkeiten von  , und , wovon alle drei offenbar gültig sind.

Erklärung des Paradoxons

Es sei Kreis mit Radius 1. Die Seite eines darin eingetragen gleichseitigen Dreiecks hat eine Länge von . Die Fragestellung des Bertrand-Paradoxon ist folgende:  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für dass eine zufällig ausgewählte Sehne im Kreis die Länge von übertrifft.

1. Ansatz der zufälligen Sehnen-Endpunkte

Ein Eckpunkt des eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes ist gegeben und ein zweiter Punkt wird zufällig auf dem Kreisbogen bestimmt, woraus eine zufällige Sehne entsteht, welche grösser als ist, wenn sich der zweite Punkt auf dem Bogen zwischen den beiden Ecken des Dreiecks gegenüber dem ersten Punkt befindet. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist dann .

Bertrand-Paradoxon Ansatz 01

2. Ansatz der zufälligen Sehnen-Mittelpunkte auf dem Radius des Kreises

Wir wählen, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, einen Radius des Kreises und betrachten das eingeschriebene gleichseitige Dreieck mit einer Seite senkrecht zu diesem. Auf dem Radius bestimmt man zufällig einen Punkt, der die senkrecht zum Radius stehende Sehne halbiert. Die so bestimmte Sehne ist länger als die Seite des Dreiecks, wenn sie näher am Kreismittelpunkt ist als der Schnittpunkt der Seite des Dreieckes mit dem Radius. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist dann .

Bertrand-Paradoxon Ansatz 02

3. Ansatz der zufälligen Sehnen-Mittelpunkte im Kreis selbst

Zufällig wird ein Punkt gewählt wobei die durch diesen Punkt halbierte Sehne länger als eine Seite des eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist, wenn der Punkt innerhalb eines konzentrischen Kreises mit Radius liegt. Die Fläche dieses Kreises entspricht einem Viertel des Großkreises. Die Wahrscheinlichkeit ist dann .

Bertrand-Paradoxon Ansatz 03