Übungsvorlage | Fehlerrechnung

Übungsvorlage in pdf: Übungen_Fehlerkalkul.pdf

Anbei die Version in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

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\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************

\titlehead{
\hfill Alpen der \today}
\subject{
\sc{{\”{u}}bungen}}
\title{\sc{Kalk{\”{u}}l mit der Ungenauigkeit}}
\author{\sc{- 4K -}}
\date{Kantonsschule Grindelwald}
\maketitle

% C. UEBUNGEN https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\begin{tabbing}
a) \= \quad \=
\kill

\textbf{Aufgabe 1:}\\
\\
Von einem Zylinder wurde der Durchmesser $D=4.84\pm0.01$
cm, die H{\”{o}}he $h=6.74\pm0.01$ cm\\
und durch W{\”{a}}gung die Masse $m=968.5\pm0.1$ g bestimmt.\\
\\
\>a) \>Wie gross ist die Schranke f{\”{u}}r den absoluten\\ \>  \>und relativen Fehler f{\”{u}}r die Dichte $\rho$ des Zylinders?\\
\\
\>b) \>Welchen Fehler kann man vernachl{\”{a}}ssigen?\\
\\
\>c) \>Wie gross ist der maximale Fehler f{\”{u}}r $\rho$?\\
\\
\end{tabbing}

\textbf{Aufgabe 2:}\\
\\
Ein Hohlzylinder hat den {\”{a}}usseren Radius $r_{1}\approx10$ cm, den inneren Radius $r_{2}\approx8$ cm und die H{\”{o}}he $h\approx12$ cm. Mit welchen absoluten Fehlern d{\”{u}}rfen diese drei Gr{\”{o}}ssen gemessen werden, damit der relative Maximalfehler des Volumens h{\”{o}}chstens $\pm2\%$ betr{\”{a}}gt?\\

Allgemeine Annahme: Die Fehler in den Messungen sollen je zu einem $\frac{1}{n}$-Teil  zum gesammten absoluten Fehler beitragen (Beispiel: Drei Messungen $\Rightarrow$ jede Messung tr{\”{a}}gt $\frac{1}{3}$ zum Gesamtfehler bei).\\
\newpage

\textbf{Aufgabe 3:}\\
\\
Zur Bestimmung der nicht messbaren Strecke $\bar{AB}$ wurde ein Hilfspunkt $C$ gew{\”{a}}hlt, und dann wurden die Strecken $\bar{AC}$, $\bar{BC}$ und der Winkel $\gamma$ gemessen. Wie gross ist die Strecke $\bar{AB}$ und der absolute Maximalfehler wenn gilt:\\
\\
$\bar{AC}=402.35\pm0.05$ m\\
$\bar{BC}=364.76\pm0.05$ m\\
$cos \gamma = 0.37327\pm0.00008$ (Radmass)\\
\\

\textbf{Aufgabe 4:}\\
\\
Man berechne die Wertschranke des formalen Ausdrucks $A_{i}$:\\
\\
\begin{displaymath}
A_{1}=\frac{2a^2bc}{(b+c)^2}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
A_{2}=\frac{a^2c-b^2c}{2a^2-ab-3b^2}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
A_{3}=\frac{a(1-b)^3}{2c}\\
\end{displaymath}
\\
f{\”{u}}r $a=3.02\pm0.0800 \qquad b=1.03\pm0.0400 \qquad c= -0.0300\pm 0.0040$\\
\\
Dabei sind die Formeln $A_{i}$ exakt!\\

\textbf{Aufgabe 5:}\\
\\
Die Zahl $\pi$ werde durch die N{\”{a}}herungswerte $z_{1}=\frac{22}{7}$ und $z_{2}=\frac{355}{113}$ ersetzt.\\
\\

\begin{tabbing}
a) \= \quad \=
\kill
\>a) Wie gross sind die wahren Fehler von $z_{1}$ und $z_{2}$ (auf 2 signifikante Stellen genau)? \\
\>b) Welchen Fehler erh{\”{a}}lt man f{\”{u}}r die Fl{\”{a}}che eines Kreises mit dem Radius $r=5$ cm,\\
\> \>wenn man mit $z_{1}$ bzw. $z_{2}$ rechnet?
\end{tabbing}

\newpage
\textbf{Aufgabe 6:}\\
\\
Berechnen Sie die absoluten und relativen Fehlerschranken der Anziehungskraft $F$ zwischen Sonne und Erde, wenn gilt:\\
\\
\begin{displaymath}
F=\Gamma\frac{M_{s}M_{e}}{r^2}
\end{displaymath}
\\
$M_{e}=5.976 \ 10^3kg \quad  M_{s}=333.1 \ 10^3 \ M_{e}  \quad r=149.6 \ 10^6 \ km \quad \Gamma=6.670 \ 10^{-11} \ m^3 \ kg^{-1} \ s^{-2}$
\\

\textbf{Aufgabe 7:}\\
\\
Aus der L{\”{a}}nge $l=118.5$ cm und der Schwingungsdauer $T=2.180$ s eines mathematischen Pendels soll die Erdbeschleunigung $g$ berechnet werden. Wie genau m{\”{u}}ssen $l$ und $T$ bestimmt werden, damit der absolute Maximalfehler von $g$ nicht mehr als $\pm1cm$ $s^{-2}$ betr{\”{a}}gt?\\

Es gilt f{\”{u}}r kleine Auslenkungen:\\
\\

\begin{displaymath}
T=2\pi \sqrt{ \frac{l}{g}}
\end{displaymath}

\textbf{Aufgabe 8:}\\
\\
a) Berechnen Sie die Fehlerschranken f{\”{u}}r den absoluten und relativen Fehler von $Q_{i}$.\\
b) Berechnen Sie die Wertschranken f{\”{u}}r $Q_{i}$ und das Resultat.

\begin{displaymath}
Q_{1}=\frac{2a^2-b^2}{5c \ 3ab}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
Q_{2}=3a^5 \ 2b^2 \ + \ \frac{3ab}{22b^2}
\end{displaymath}
\\
Wobei:\\
\\
$a= -2.2\pm0.2$\\
$b=3.1\pm0.3$\\
$c=4.3\pm0.4$\\
\\

\end{document}