Harmonics | Sonderwoche

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Ideenskript: Naturtonreihe_September_06 [pdf, 174KB ] Anbei der LaTeX-Skript %https://blogs.ethz.ch/rindi % *************************** \documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl} \usepackage[ngerman,french]{babel} \usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{hyperref} \usepackage[pdftex]{graphicx} \typearea{12} \pagestyle{headings} \clubpenalty = 10000 \widowpenalty = 10000 \selectlanguage{ngerman} \begin{document} \titlehead{ \hfill Ort der … Continue reading

Histoire de la Terre | Néoprotozoérique

Voici un article que j’ai du écrire en Histoire de la Terre en pdf:

ArticleNéoprotozoérique.pdf

Voici le code en LaTeX:

% A. PRÄAMBE Lhttps://blogs.ethz.ch/rindi/
%*******************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrreprt}
\usepackage[ngerman, french]{babel}\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{floatflt}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{frenchb}
\begin{document}

% B. TITRE https://blogs.ethz.ch/rindi/
%*******************************************
\titlehead{
\hfill Genève le 30 mars 2006}
\subject{Histoire de la Terre}
\title{Néoprotozoérique}
\author{S.L. | R.\\
Dept. of Earth Sciences  University of Geneva\\
Prof. W.Wildi
}

\date{Mars 2006}
\maketitle
\tableofcontents
\bibliographystyle{alpha}
\newpage

% B. TEXTE  https://blogs.ethz.ch/rindi/
%*******************************************
\begin{figure}
\chapter{Temps/Espace}

Le \emph{Néoprotérozoïque} est l’ère géologique qui s’étend de 1 milliard à 540 millions d’années. Les bornes exactes peuvent varier quelque peu suivant les auteurs. Cette ère est la dernière de \emph{l’éon Protérozoïque}, parfois encore appelé Précambrien.\\
Veuillez prende de connaissance du \emph{Seafloorspreading} dans \emph{l’océan de Panthalassa} sur Fig.: \ref{fig:rodinia}.2\\

\begin{minipage}[b]{.4\linewidth}
\includegraphics[width=6 cm]{timescale.jpg}
\caption{www.wikipedia.org}
\end{minipage}
\hspace{.1\linewidth}
\begin{minipage}[b]{.4\linewidth}
\flushright
\includegraphics[width=2.5 in]{NewRodinia750Ma.jpg}
\centering
\includegraphics[width=2.5 in]{NewRodinia700Ma.jpg}
\flushleft
\includegraphics[width=2.5 in]{NewRodinia600Ma.jpg}
\label{fig:rodinia}
\caption{www.scotese.com}
\end{minipage}

\end{figure}

\chapter{L’ère du Néoprotérozoïque et ses périodes}

\section{Tonian}
Le \emph{Tonian} (Grèque: tonas = “étendre”) est le premier système géologique du \emph{Néprotérozoïque} qui s’étend de  1000 Ma à 850 Ma (millions d’années avant notre ère). \\

Evénéments importants:\\
\begin{itemize}
\item Le “\emph{Breakup}” du supercontinent Rodina commence.
\item Les premiers \emph{acritarchs} apparaissent pendant le Tonien.\\
\end{itemize}

Les \emph{Acritarches} (cf.Fig.: \ref{fig:tonianfossils}) sont des microfossiles à parois organique, c’est-à-dire des \emph{palynomorphes}, auxquels il n’est pas possible d’attribuer une affinité biologique avec certitude. Le nom Acritarche dérive du Grec “\emph{akritos}” signifiant incertain ou confus et de “\emph{arche}” signifiant origine. Le terme Acritarche a été introduit pour la première fois par W.R. Evitt en 1963. Les \emph{acritarches} sont connus depuis le \emph{Précambrien} (les plus anciens connus sont datés de 1.5 milliard d’années), ils sont abondants au cours du \emph{Paléozoïque} et puis régressent très fortement et disparaissent presque complètement par la suite.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=6 cm]{metazoaires.jpg}
\caption{Schéma Acritarches; www.lycos.fr}
\label{fig:tonianfossils}
\end{figure}

\section{Cryogénian}
Le \emph{Sturtien} est le premier étage du \emph{Cryogénien}; il s’étend de 850 à 630 millions d’années avant l’ère chrétienne. Il voit le début d’une glaciation qui se termine à la fin du \emph{Varangien}, soit 630 millions d’années avant l’ère chrétienne.\\
La population \emph{d’acritarches} (cf.Fig.: \ref{fig:biontacryogenian}) diminua fortement durant cette glaciation et il semblerait que les niveaux d’oxygène ait augmenté peu après la fin de la glaciation.\\
La glaciation \emph{Varanger} est une longue période de glaciation de la Terre, à l’époque du \emph{Cryogénien}.
Actuellement deux thèses s’opposent :\\
\begin{itemize}
\item Cette glaciation a couvert l’ensemble de la planète ne laissant pas d’eau libre (hypothèse de la Terre boule de neige).\\
\item Une bande océanique autour de l’équateur n’aurait pas gelé.\\
\end{itemize}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width= 10cm]{deathvally.jpg}
\caption{Fossils pendant le Cryogenian; Corsetti et al. (2003)}
\label{fig:biontacryogenian}
\end{figure}

\section{Ediacarien}

\emph{L’Édiacarien} est le plus récent système géologique du \emph{Néoprotérozoïque} qui s’étend de 630 à 542 millions d’années avant notre ère.\\
Historiquement son nom a été utilisé de diverses façons puis a été ratifié en 2004 par l’IUGS (International Union of Geological Sciences). L’ancienne dénomination de ce système est le Vendien ou parfois le Néo Prot-III.\\

La faune de \emph{l’Édiacarien} (cf.Fig.: \ref{fig:edicaranfossils}) est appelé parfois faune du Vendien. L’usage moderne tend à utiliser le premier terme pour toute la faune de cette époque. Plusieurs paléontologues croient que la faune du \emph{Ediacarien}/Vendien était les ancêtres de la faune du Cambrien. D’autres pensent que la faune du \emph{Ediacarien}/Vendien n’a pas de descendance vivante. Selon cette dernière hypothèse, elle aurait subi une extinction et ensuite la faune du Cambrien aurait évolué.\\

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width= 10cm]{edicaranfossils.jpg}
\caption{Fossils dans l’Edicaran; Kevin J. Peterson et al. (2003)}
\label{fig:edicaranfossils}
\end{figure}

\chapter{Snowball Earth}
Résumé de la Théorie\\

Il y a 750 millions d’années, à la fin du \emph{protérozoïque} :\\
La glaciation de la Terre a été provoquée par une importante diminution du gaz carbonique dans l’atmosphère due à la dislocation du supercontinent \emph{Rodinia} qui, à l’époque, était centré sur l’équateur et s’étendait du 60e degré de latitude nord au 60e degré de latitude sud.\\
\emph{Rodinia} a commencé à se fracturer il y a 800 millions d’années sous l’effet de points chauds, sortes de lances magmatiques qui traversent la croûte terrestre et crachent d’énormes quantités de lave. Cet événement s’est accompagné de l’ouverture d’océans et de bras de mer qui ont augmenté la quantité de vapeur d’eau présente dans l’atmosphère, et donc les pluies. Le carbone présent dans les pluies sous forme de gaz carbonique s’est bientôt retrouvé dans l’océan, piégé dans les sédiments sous forme de carbonates.\\
Dans le même temps, les énormes écoulements de laves produits par la fracture de \emph{Rodinia} formaient des surfaces basaltiques à la surface des continents. Or ces dernières consomment huit fois plus de carbone qu’une même surface granitique quand elles s’érodent sous l’effet de l’humidité.\\

\noindent
Pour plus de détails:\\

www.snowballearth.org\\

\noindent
Un extrait de la liste des articles en concernant le sujet “Snowball Eart” se trouve dans la bibliographie.

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Hoffman}
Paul F. Hoffman and Alan J. Kaufman and Galen P. Halverson and Daniel P. Schrag, 1998, \emph{A Neoproterozoic Snowball Earth, Science}, 281, 1342-1346
\bibitem{Hyde}
William T. Hyde and Thomas J. Crowley and Steven K. Baum and W. Richard Peltier, 2000, \emph{Neoproterozoic ‘snowball Earth’ simulations with a coupled climate/ice-sheet model}, Nature , 405, 425-429
\bibitem{Caldeira} Ken Caldeira and James F. Kasting, 1992, \emph{Susceptibility of the early Earth to irreversible glaciation caused by carbon dioxide clouds}, Nature, 359, 226-228
\bibitem{McKay} Christopher P. McKay, 2000, \emph{Thickness of tropical ice and photosynthesis on a snowball Earth}, Geophysical research letters , 27, 14, 2153-2156
\end{thebibliography}
\end{document}

Et les graphiques nécessaires:

timescale

Fig. 1: Timescale

newrodinia750ma

Fig. 2: New Rodinia 750 Ma

newrodinia700ma

Fig. 3: New Rodinia 700 Ma

newrodinia600ma

Fig. 4: New Rodinia 600 Ma

deathvally

Fig. 2.2: Fossils pendant le Cryogenian ; Corsetti et al. (2003)

metazoaires

Fig. 2.1: Schéma Acritarches ; www.lycos.fr

edicaranfossils

Fig. 2.3: Fossils dans l’Edicaran ; Kevin J. Peterson et al. (2003)

Géomorphologie | Géophotographie | Traveaux Pratiques | Lithologie & Structures Géologiques

Université de Genève Master Bi-Disciplinaire en “Mathématiques et Sciences de la Terre” 2006

Voici le rapport du TP 4 en Géomorphologie & Géophotographie “Lithologie et Structures Géologiques” en pdf:

TP-04-Géomorphologie-Lithologie-Structures-Géologiques.pdf

Le code en LaTeX:

% A. PRÄAMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrreprt}
\usepackage[ngerman,french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\typearea{12}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{frenchb}
\begin{document}

% B. TITRE https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************

\titlehead{
\hfill Genève en Janvier}
\subject{Géomorphologie – Photogéologie}
\title{Simon-Lukas Rinderknecht}
\author{
Travail pratique IV\\
\\
– LITHOLOGIE ET SRUCTURES GEOLOGIQUES -\\
\\
No. de Carte: 124º126º\\
Echelle  ~ 1: 50\\
}

\date{Janvier 2006}
\maketitle
\tableofcontents

% C. PARTIE PRINCIPALE https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************
\chapter{Légende}

\begin{center}
%\includegraphics[width=13cm]{Legende.pdf}
\end{center}
%—————————————
\chapter{Partie déscriptive}

La photo montre deux zones:\\

\begin{itemize}
\item la \emph{Zone de la structure anticlinale}.
\item la \emph{Zone déserte}.\\
\end{itemize}

\section{Zone de la structure anticlinale}
La \emph{structure anticlinale} s’étale dans la direction est-ouest.
On voit une tranchée au milieu avec un bord en forme de \emph{poire}. Un fleuve traverse la \emph{tranchée}. Le fleuve s’écoule \emph{verticalement} par rapport à la \emph{structure anticlinale} et continue son chemin dans la \emph{zone déserte}. Le fleuve se trouve toujours dans des vallées assez droites. On voit le long de la structure anticlinale des chaînes de montagnes avec des coupes parallèles en \emph{zig-zag}. On voit des couches \emph{rocheuses} et un peu de sable. La végétation est quasi absente.

\section{Zone déserte}

La \emph{zone déserte} est \emph{légèrement inclinée} et en gros elle se présente assez \emph{plate}. Par contraste avec la zone de la structure anticlinale elle est \emph{sableuse} – on ne voit alors pas de lithologies rocheuses. Plusieurs \emph{systèmes fluviatiles} traversent ce plateau en direction sud-nord. On voit également des systèmes fluviatiles sans qu’il y ait rivière ou fleuve dedans. Les systèmes sont légèrement \emph{méandrées}.

\section{Impact humain}
Aucun.\\

%—————————————

\chapter{Partie Interprétative}

\section{Interprétation concernant la structure anticlinale}

Plusieurs couches lithologiques se sont \emph{pliées}. Cela peut-être dû à une \emph{force tectonique}. Cela abouti à ce que l’on appelle une \emph{structure anticlinale}. Les couches du côté nord sont \emph{moins inclinées} que sur le côté sud. Ceci s’explique par le fait que \emph{l’épaisseur} visible à la surface des couches correspondantes (une couleur) sont au nord, \emph{plus larges} que du côte sud. La \emph{couche lithologique} la \emph{plus vieille} est celle que l’on voit dans le fond de la vallée qui traverse la structure anticlinale verticalement (en jaune). C’était alors la couche \emph{initialement} la plus \emph{profonde} de toutes.

\section{Interprétation concernant la zone de désert}

La \emph{zone déserte} consiste en des \emph{sédiments que les fleuves ont amenées de la zone structure anticlinale}. C’est donc du sable probablement pas très profond et peu ou même pas lithifié.

\section{Interprétation concernant les systèmes fluviatiles}

J’estime que les rivières ont été déjà là \emph{avant} la formation de la \emph{structure anticlinale}. En fait \emph{pendant} la formation de celle-ci le fleuve a pu éroder les couches de la \emph{structure anticlinale} et ainsi a pu trouver son chemin actuel. Ceci explique le fait des \emph{vallées fluviatiles} dans la zone de la \emph{structure anticlinale}. On remarque aussi que les fleuves ont une \emph{courbure} dans la zone de \emph{transition anticlinale-désert}. Une première explication possible de ce fait peut être un \emph{cisaillement} de \emph{couches} (indiqué sur le dessin). Ou alors, c’est simplement le fait que la \emph{dernière couche} stratigraphique, avant le désert, est \emph{plus résistante, plus dense et plus dure} ce qui provoque la \emph{déviation fluviatile} en question. Eu égard au fait que le \emph{climat} est \emph{aride}, il est facile a comprendre que quelques vallées dans la zone du désert ne contiennent pas de rivières. Mais s’il pleut (p.ex. des \emph{orages}) ils se remplissent vite, et c’est ainsi que le terrain se draine. Mais alors dans les \emph{périodes de sécheresse}, on ne voit que les \emph{traces} de rivières.

\section{Interprétation concernant la végétation}
La \emph{végétation} ne pousse que très \emph{peu} parce que la région en question est trop \emph{sèche} et que le sol est \emph{rocheux} ou \emph{sableux}. Comme cela la \emph{végétation} a de la peine à s’installer de manière durable et proliférante. Il est possible que l’on trouve le long des rivières une \emph{microbiosphère}, mais cela n’est pas sûre et bien entendu c’est une hypothèse impossible à prouver avec une photo aérienne donnée comme celle-là.

\section{Interprétation concernant le climat}
On ne voit aucune trace de végétation qui serait normalement un bon indicateur pour une région plus tôt humide. On ne voit d’ailoleurs que des \emph{lithologies sableuses} ou \emph{rocheuses} et donc on ose conclure que le \emph{régime du climat} est \emph{aride} et \emph{sec}. De plus les \emph{zones du désert} confirment la conclusion.\\

%—————————————

\end{document}

Géomorphologie | Géophotographie | Traveaux Pratiques | Deltas

Université de Genève Master Bi-Disciplinaire en “Mathématiques et Sciences de la Terre” 2006.

Voici le rapport du TP 3 en Géomorphologie & Géophotographie “Deltas” en pdf:

TP-03-Géomorphologie-Deltas.pdf

Le code en LaTeX:

% A. PRÄAMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *****************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrreprt}
\usepackage[ngerman,french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\typearea{12}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{frenchb}
\begin{document}

% B. TITRE https://blogs.ethz.ch/rindi
% *****************************************

\titlehead{
\hfill Genève en Janvier}
\subject{Géomorphologie – Photogéologie}
\title{Simon-Lukas Rinderknecht}
\author{
Travail pratique III\\
\\
– DELTAS -\\
\\
\textsc{Delta du Mississippi}\\
(Etats-Unis / Mississippi)\\
No. des Cartes: 55W5593/55W5594/55W5595 29 mar\\
Coordonées: 30°13’N/88°7’O; 0 msm\\
Echelle  ~ 1: 50\\
}

\date{Janvier 2006}
\maketitle

\tableofcontents

% C. PARTIE PRINCIPALE https://blogs.ethz.ch/rindi
% *****************************************
\chapter{Théorie}

D’après un certain professeur, la photo montre une partie du  \emph{delta du Mississippi} qui se trouve dans l’état du Mississippi (USA) sur 0 msm. Donc je vais baser la partie théorique de ce rapport entre autre sur cette information qui normalement n’aurait pas été visible sur la photo en elle-même. Le \emph{bassin de drainage} du fleuve  de Mississippi est immense. Il couvre tout le centre du continent nord-américain au sud des Grands Lacs entre, à l’ouest, la chaîne des Rocheuses et, à l’est, la chaîne des Appalaches.

\section{Généralités deltas}

\subsubsection{L’environnement côtier}
Les côtes en tant que zones \emph{d’interface} entre \emph{continents} et \emph{océans} sont soumises  de manière générale aux \emph{influences} suivantes:

\begin{enumerate}
\item Marées.
\item Vents et Vagues.
\item Courants géostrophiques.
\item Régime et apports fluviatiles.
\item Fluctuations eustatiques.
\item Subsidence et activité tectonique.
\item Activiés humaines.
\end{enumerate}

RQ.: eustatique = Hauteur globale des mers et ses variations.\\

Du point de vue de \emph{l’évolution sédimentaire} et \emph{érosive} on distinguera trois \emph{régimes}, qui peuvent changer selon un rythme propre à la zone concernée:

\begin{enumerate}
\item Régime de sédimentation.
\item Régime stable.
\item Régime d’érosion.
\end{enumerate}

\subsubsection{Les Deltas}
On distingue entre:
\begin{enumerate}
\item Deltas tidaux.
\item Deltas à domination fluviatiles.
\item Deltas dominés par vagues.
\end{enumerate}

En réalité il se trouve toujours un mélange des trois dont un argument sera le plus dominant.

\section{Le delta du Mississippi}
Le \emph{delta du Mississippi} est, en accord avec la classification des \emph{deltas marins}, un \emph{finger-delta} à \emph{domination fluviatile}.\\
Le delta du Mississippi est sous régime de \emph{sédimentation} et est à \emph{domination fluviatile}.\\
En tenir compte de l’histoire le \emph{mouvement tidale} joue également un rôle dans l’érosion et formation du delta. On sait qu’il y a 20 ma (pendant la dernière ère glacière) le niveau eustatique était beaucoup plus bas. C’était alors le moment où les dunes côtières ont été formée éoliennement, tout ça d’après Monsieur Guarim.\\
Le \emph{vent} est toujours \emph{orthogonal} aux vagues visibles sur la photo. On peut remarquer que le vent souffle plus tôt dans la Zone Golfe du Mexique et son activité décroît après avoir dépassé la dune côtière.\\
Le Mississippi transporte environ 40 tonnes/heure de sédiments dans le Golfe du Mexiqe.\\
Des masses énormes de sédiments ”apportées” du Mississippi ont construit une vaste plaine qui fait plus de 400 km de largeur (d’est en ouest) sur quelques 200 km de profondeur (du nord au sud). On estime que cette plaine forme 40 pour cent de la surface de tous les marais salants des États-Unis.\\
En fait le delta du Missisiippi se déplace constamment en direction NE-SO à cause du courant dans le Golfe du Mexique.\\
Aussi il faut remarquer que l’impact de l’homme n’est pas du tout négligeable: On estime que les lacs de barrages artificielles retiennent 30 pour cent des sédiments!\\

\chapter{Légende}

\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{Legende.jpg}
\end{center}
%—————————————
\chapter{Partie déscriptive}

\section{Brève description de l’image}

La photo se divise principalement en trois zones qui sont:\\
\begin{enumerate}
\item la \emph{Zone Lagoon} (ou en français: la \emph{Zone intertidale}).
\item la  \emph{Dune Côtière} (les îles).
\item la \emph{Zone Marine}.\\
\end{enumerate}

L’eau dans la \emph{Zone Marine} est plus tôt agitée et on voit beaucoup plus de vagues par rapport à ce que l’on voit dans la \emph{Zone Lagoon intertidale}.\\
En particulier on voit dans la \emph{Zone Marine} des petites vagues blanches devant l’île gauche sur la photo.\\

On voit que le côté des dunes vers la \emph{Zone Marine} est très droite et linéaire.\\
Par contre le côté des dunes vers la \emph{Zone Lagoon intertidale} est formé très irrégulièrement.\\
On voit là des accumulations de sable qui forment des collines qui sont parfois en dessous de l’eau et parfois ils sortent de l’eau.\\

Sur les deux îles on voit des roches différentes, parfois plus sableux, parfois plus grossier.\\

L’eau dans la \emph{Zone Lagoon} est plus tôt calme et on ne voit que peu de vagues.\\

\section{Type de morphologie}

La morphologie est \emph{sédimentaire} du coté de la \emph{Zoone Lagoon intertidale}.\\

\section{Zones d’accumulations et d’érosions}

On voit des \emph{dunes aquatiques} dans la \emph{Zone Lagoon intertidale}.\\
On voit des \emph{plages sableuses} au bord des \emph{dunes côtières}.\\
On voit des \emph{dunes terrestres}.\\

\section{Végétation}

La photo montre une région où la végétation ne pousse que très peu.\\
Probablement ce sont des algues aquatiques dans la partie de la \emph{Zone Lagoon intertidale}.\\
Peut-être ce sont des herbes terrestres et des arbustes terrestres sur les îles de la \emph{Zone Dune}.\\

\section{Impact humain}

Sur la photo: Aucun, à part d’un mur que j’ai déssiné en noir.\\

%—————————————

\chapter{Partie Interprétative}

\section{Interprétation concernant le type de morphologie}

C’est probablement un fleuve provenant de la \emph{Zone Lagoon intertidale} qui se verse dans une mer que j’ai désigne par la \emph{Zone Marine}.
D’où l’accumulation\footnote{La zone d’érosion du fleuve se situe  à l’intérieur du continent c’est alors le \emph{bassin de drainage} du fleuve. Tout le matériel \emph{érodé} et \emph{transporté} de ce bassin \emph{s’accumule} en un seul point, le \emph{delta} dans le \emph{golfe}.}  des \emph{sédiments} est principalement dû à ce fleuve qui fonctionne comme \emph{transporteur des sédiments}. Cela se manifeste en regardant les \emph{dunes aquatiques} dans la \emph{Zone Lagoon intertidale}.\\

La \emph{Zone Marine} est beaucoup plus riche en énergie que la \emph{Zone Lagoon intertidale}. Ce fait s’exprime surtout dans les vagues bien visibles dans la \emph{Zone Marine}. L’eau marine est donc plus agité que l’eau dans la \emph{Zone Lagoon intertidale}. Cette agitation énergétique élevée s’explique d’une part à cause du vent qui n’a pas d’obstacle morphologique sur la mer et d’autre part du \emph{courant aquatique marin} général.\\

Les \emph{vagues marines} érodent de manière constant les \emph{dunes côtières}, ce qui se manifeste en observant les \emph{plages sableuses} qui sont très lisses du côté marin. De plus on ne voit nulle plante végétale à cet endroit, car les vagues de haute énergie aiguayent tous les organismes végétaux et de toute manière le sable ne favorise pas une bonne vététation pour laquelle il faut plus tôt du sol.\\
Ce ne sont non seulement les \emph{vagues marines} qui érodent les \emph{dunes terrestres} de la \emph{Zone Dune} mais aussi le courant général de l’eau de la Zone Marine.\\
De plus les \emph{dunes terrestres} sont formé et érodées pour une bonne partie du vent.\\

La \emph{Zone Lagoon intertidale} montre des \emph{dunes aquatiques} sans structure homogène ou direction générale. On en déduit que l’eau dans cette zone ne coule pas constamment en une seule direction. Le taux de la quantité de l’eau varie par conséquent. Cela explique également la forme intérieur des dunes terrestres (îles) qui ne sont pas lisses mais par contre très irréguliers. Autrement dit le niveau de l’eau dans la \emph{Zone Lagoon intertidale} varie.

\newpage
\section{Interprétation concernant la végétation}

En général la végétation visible sur la photo indique qu’elle correspond par exemple à celle des subtropes.\\
On remarque que l’eau de la \emph{Zone Marine} est salée.\\
L’eau dans la \emph{Zone Lagoon intertidale} est très probablement douce.\\
Cela porte des conséquences directes sur la végétation et fournit une explication pourquoi le bord de la \emph{Zone Dune} n’est pas peuplé d’une flore de plantes par contraste du coté \emph{Zone Lagoon intertidal} qui montre de la matière organique.

\section{Interprétation concernant le climat}
Il est très dur de déduire des choses sur un climat local ayant qu’une photo aérienne comme celui-ci.
J’éstimé en moyenne que les températures sont comprises entre 9 dégrées Celsius (hiver) et 28 dégrées Celsius (été) car le climat correspond très probablement au climat subtropique comme j’ose conclure de la végétation et de la situation géomorphologique visible sur la photo.\\

\chapter{Informations additionnelles concernant le delta du Mississippi}
\section{Interprétation générale concernant l’impact humain sur les déltas}
Les marrées hautes et basses peuvent être utilisées pour produire de l’élécricité.\\
Souvent les deltas contiennent des champs de pétrole donc sont extrêmement exploré.\\

\section{Mississippi}
Le Mississippi est un fleuve des États-Unis. Son nom en langue indienne signifie « père des eaux ». Avec 3 780 km de long, c’est le second fleuve le plus long de l’Amérique du Nord. Il cède la première place à son affluent, le Missouri. Pris ensemble, ils forment le plus grand système fluvial de l’Amérique du Nord. En partant de la source du Missouri, on atteint une longueur cumulée de 6 270 km.\\
La source du Mississippi est située à l’extrémité du lac Itasca (au nord du Minnesota), à 450 m au-dessus du niveau de la mer. Le fleuve atteint bientôt les 220 m après les chutes de St Anthony près de Minneapolis. Il est rejoint par l’Illinois et le Missouri, à Saint Louis et par l’Ohio à Cairo, Illinois.\\
Sur le delta il y a beaucoup de forêts; en particulier des pins et des magnolias.\\
Le delta est un écosystème particulier et important pour la nidification de plusieurs espèces d’oiseaux.\\
Il y a beaucoup de huîtres et crevettes.\\
\\
US National Park Service:\\
http://www.nps.gov/miss/features/factoids/\\
Pour les yeux:\\
http://visibleearth.nasa.gov/\\
http://www.nationalgeographic.com/\\

Ceterum Censeo: Les informations sur internet sont à utiliser avec précaution car les rédacteurs de ces sites orientent leurs conclusions en fonction de leurs intérêts, soit politique soit économique etc…de plus internet est une source volatile.\\
%————————————-

\end{document}

En annexe la légende:

legende1

Légende

Géomorphologie | Géophotographie | Traveaux Pratiques | Glaciers

Université de Genève Master Bi-Disciplinaire en “Mathématiques et Sciences de la Terre” 2006

Voici le rapport du TP 2 en Géomorphologie & Géophotographie “Glaciers” en pdf:

TP-02-Geomorphologie-Glaciers.pdf

Voici le code en LaTeX:

% A. PRÄAMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrreprt}
\usepackage[ngerman,french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\typearea{12}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{frenchb}
\begin{document}

% B. TITRE https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************

\titlehead{
\hfill Genève en Janvier}
\subject{Géomorphologie – Photogéologie}
\title{Simon-Lukas Rinderknecht}
\author{
Travail pratique II\\
– Glaciers -\\
\textsc{Glacier d’Arolla}\\
(Italie; Valais, Suisse)\\
No. de la Carte: LK 283 Arolla 32 9201 13-9-83 \\
Coordonées: 45.9708°N/7.6041°E; 4174msm (Dent d’Hérens, I/CH)\\
Echelle  ~ 1: 50\\
}

\date{Janvier 2006}
\maketitle
\tableofcontents

% C. PARTIE PRINCIPALE https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************
\chapter{Théorie}

\subsection{Glaces et Glaciers}
On appelle <<glaciers>> les masses de glace permanentes situées dans les régions de haute latitude \emph{(calottes glaciaires)} et de haute altitude \emph{(glaciers alpins)}, où la neige couvre le sol pendant une partie importante de l’année. En chiffres on estime que 10 pour cent des surfaces émergées du globe sont actuellement couvertes de glace à longueur d’année. Notre photo montre clairement un \emph{glacier alpin}.\\
La glace est un \emph{agrégat polycristallin}, \emph{imperméable}, à \emph{inclusions de gaz} et d’autres impuretés. Le matériel est souvent d’une \emph{anisotropie}, aux \emph{inclusions}, aux \emph{déformations internes}, à l’\emph{orientation} et à la \emph{taille des cristaux}.
Sur un glacier, on distingue en fonction du degré de transformation
\begin{description}
\item{neige, 20-400 kg/m3.}
\item{granules, 400-800 kg/m3.}
\item{glace, 800-910 kg/m3.}
\end{description}
Soumise à une contrainte, la glace se déforme d’abord de façon \emph{élastique}, puis \emph{plastique}. L’écoulement de la glace est lié à la relation entre contraintes \emph{(stress)} et déformation.  Pendant longtemps, on a pensé que la glace se comportait comme un fluide très visqueux, avec une déformation proportionnelle au stress. Cependant, la \emph{vitesse d’écoulement} d’un glacier réagit plus fortement à des \emph{variations d’épaisseur} que ne le prévoyaient \emph{les lois de fluides visqueux}.
\begin{description}
\item{La vitesse d’écoulement d’un glacier varie entre 10 et 100 m/a.}
\end{description}

\subsection{Les glaciers de montagne}
Les \emph{névés} sont installés dans les \emph{cirques glaciaires} recouverts de neige jusqu’à la \emph{limite climatique des neiges}. Les \emph{langues glaciaires} drainent la glace formé sous les \emph{névés}. Les \emph{nunataks} peuvent \emph{émerger de la glace} dans des endroits où le rocher a résisté à l’érosion. Le rocher sous le glacier est souvent modelé en \emph{roches moutonnées}, constituées de \emph{roches arrondis par abrasion}. Le matériel rocheux érodé par le glacier ce trouve accumulé en bordure et au front du glacier sous forme de \emph{moraines latérales} et \emph{moraines frontales} et des \emph{deltas} des \emph{lacs proglaciaires}.\\
Dans le cirque glaciaire, la \emph{rimaye} (crevasse bordière ou Bergschlund) limite souvent le \emph{névé} en amont et indique la limite entre la glace gelé au rocher et la \emph{glace mobile}. Les \emph{crevasses} constituent des \emph{fentes d’extension} sur le \emph{névé}, mais surtout dans la \emph{langue glaciaire}. Des lames de glace \emph{(séracs)} se peuvent détacher du glacier sur des \emph{seuils} et dans des \emph{cascades} (endroits de forts changements de pente). \\

\subsection{Processus d’érosion, transport et sédimentation dans un environnement glaciaire}
\subsubsection{Erosion}
\emph{Erosion sous-glaciaire par abrasion}: Les surfaces abradées comportent des\emph{stries} et \emph{rainures parallèles} à la direction d’écoulement du glacier. Une certaine ondulation du rocher (\emph{roches moutonnées}) résulte notamment du processus d’écoulement en vague du glacier.\\
\emph{Erosion sous-glaciaire par arrachement}: Soit par \emph{pénétration d’eau dans les fissures}, puis éclatement de la roche par gel et dégel – soit éclatement de la roche sous la \emph{contrainte de la surcharge} crée par le glacier. Les morphologies montrent des indications claires de \emph{cassure}, voire de fracturation de la roche.\\
\emph{Erosion fluviatile sous-glaciaire}: L’écoulement des \emph{torrents} sous-glaciaires conduit d’une part à une érosion par \emph{abrasion} due à la présence de \emph{gravier} et \emph{sable}. D’autre part, une \emph{cavitation} se fait par l’\emph{implosion de bulles} à l’occasion de \emph{l’impacte de l’eau} sur le rocher. L’effet principal est la création de \emph{marmites} et de gorges sous-glaciaires. Le matériel rocheux transporté dans les torrents sous-glaiciaires est arrondi.\\
En amont, latéralement comme en aval du glacier, les mécanismes d’érosion sont liées au gel \emph{gélifraction, permafrost)} aux effets du relief et à l’\emph{impact du vent} et de l’\emph{eau} sur un sol souvent dépourvu de couvert végétal continu.\\
\subsubsection{Transport et sédimentation}
Voir aussi rapport des systèmes fluviatiles. Finalement pour savoir plus K. Brodzikowski et A.J. van Loon, \emph{Glacigenic Sediments}, Developements in Sedimentology; Amsterdam: 1991 Elsevier.

\chapter{Légende}

%\begin{center}
%\includegraphics[width=13cm]{Legende.pdf}
%\end{center}
%—————————————

\chapter{Partie déscriptive}

\section{Brève description de l’image}
La photo montre le glacier alpin \emph{d’Arolla} qui se trouve dans le canton du Vallais en Suisse.\\
Le glacier principal se divise en deux grandes zones qui sont séparés par ce que l’on appelle \emph{verrou}:\\
\begin{enumerate}
\item la \emph{Zone d’accumulation}.
\item la \emph{Zone d’ablation}.
\end{enumerate}
Deux sortes de glacier sont présent sur la photo:\\
Le glacier principal qui est couvert de neige et les \emph{glaciers rocheux} qui portent du materiel comme des caillous, roches et blocs (qui se trouvent au nord-ouest dans la vallée parallèle).
On voit que le glacier est fortément marqué de \emph{séracs} et de \emph{crevasses}.
\section{Type de morphologie}
La morphologie est \emph{rocheuse}.\\
On voit (déssiné en trait rouge) un massif rocheux qui est cassé.
\section{Zones d’érosion}

Les parties d’érosion se trouvent presque partout .\\

\subsection{Erosion dans la zone d’accumulation}
Les crêtes montrent des zones d’érosion forte.\\
Les pentes sont élevés le long du \emph{cirque glaciaire}.\\
On y voit même des parois raides jusqu’au \emph{rimayes}.\\
Il y a de nombreuses \emph{éboulis} et de nombreux \emph{éboulements}.\\
Les \emph{nunatacks} montrent des failles.\\
On ne voit pas de traces typiques dans la \emph{névé} provenant d’\emph{avalanches de neige}.
\subsection{Erosion dans la zone d’ablation}
Le long des \emph{moraines latérales} on voit parfois des traces d’\emph{éboulis}.\\
Le long de la \emph{langue glaciaire} on voit très bien les \emph{moraines}.\\
La \emph{solifluxion} est également un bon indice de l’\emph{érosion} dû à la présence du \emph{glacier}.\\
La \emph{sandur} (plaine fluviale après le \emph{portail} de la \emph{langue glaciaire}) est érrodé par le \emph{lait glaciaire} qui évolue en \emph{système fluviatil de tresse}.\\
\section{Débit}
Le débit est plus élevé en éte qu’en hiver.\\
\section{Végétation}
La photo montre une région où la végétation ne pousse que très peu.\\
\section{Climat}
Les températures sont basses.\\
Il neige souvent.\\
\section{Impact humain}
L’impact humain n’est quasiment pas présent.\\
Quelques cabanes pour les touristes du glacier ont été construit.\\

%—————————————

\chapter{Partie Interprétative}

\section {Interprétation}

Ce glacier se trouve sur 3500-4000 msm. Donc c’est actuellement un des glaciers les plus hauts des alpes.\\
Ce glacier a été plus grand il y a 100 ans. Ceci se voit bien en observant les traces glaciaires dans la vallée qui n’est entretemps plus couverte de glacier. Il s’agit d’un fait qui est généralement valable pour la plus part des glaciers des Alpes. On essaye de comprendre les circonstances, mais les opinions et théories sont nombreuses. Un argument principal qu’on a est ce que l’on appelle \emph{le réchauffement de la terre} que l’on peut clairement mesurer. Il est une autre question pourquoi ce réchauffement se donne. Je n’entre ici pas dans cette discussion car cela représente plus tôt un sujet du cours \emph{changement globeaux}.\\

\subsection{Interprétation concernant la morphologie}
Les montagnes alpines se trouvent dans un stade, géologiquement parlé, \emph{jeune}. Autrement dit les pentes sont encore fortes ce qui peut être la cause des avalanches.\\
La morphologie est \emph{rocheuse} dû à la \emph{gelifraction} ou par la lithologie.\\
Une fracture du massive (indiquée par un trait en rouge) continue en dessous du glacier d’où la pente est fortement augmentée et d’où se créent des crevasses immenses au milieu de la langue du glacier.\\

\subsection{Interprétation concernant l’érosion}
\subsubsection{Erosion dans la zone d’accumulation}
Les parties d’érosion se trouvent presque partout car, comme on a déjà remarqué, les Alpes sont dans un stade, géologiquement parlé, \emph{jeunes}. Les pentes sont alors encore très fortes. Une avalanche de neige se déclanche uniquement à partir de 27 dégrées d’inclinaison. Cela est alors bien possible dans la région que notre photo montre. D’ailleurs on voit parfois des traces d’avalanches sur la photo.\\
\subsubsection{Erosion dans la zone d’ablation}
Les \emph{moraines} montrent bien l’impact d’érosion du \emph{glacier} sur le terrain.\\
La vallée se présente à \emph{surcreusement glaciaire} ce qui est visible par les zones \emph{sédimentaires} c’est des \emph{plaçages morainiques}.\\
Le lait glacier érrode le fond de la vallée en méandre de tresse (pour plus de détails consultez le rapport sysèmes fluviatiles).\\
On voit aussi que la zone d’ablation a du être plus grande à l’époque grâce au traces anciennes marquées par des moraines qui se trouvent plus bas. Si on entre encore plus en détail dans ses observations du genre on en peut même déduire des âges glaciaires grâces au (par exemple) des  blocs erratiques. Mais cela ne concerne plus nôtre interprétation.

\subsection{Interprétation concernant le débit}
Le débit est plus grand en été qu’en hiver à cause de la température qui est en moyenne plus haute en été qu’en hivers. C’est sur tout le soleil qui fait fondre la glace en été, lorsqu’en hiver la neige peut s’accumuler grâce à la température basse. On peut se poser la question avec quel décalage temporel le débit monte ou décroit en fonction de la température  moyenne.\\

\subsection{Interprétation concernant la végétation}
La végétatikon ne pousse que très peu car elle correspond à celle des hautes Alpes ou les températures sont basses, la hauteure est élévée et surtout il n’y a pas de sol, mais par contre des roches sur lesquelles une végétation n’était pas capable de survivre.\\

\subsection{Interprétation concernant le climat}
Le climat correspond au climat des hautes Alpes.\\
La température est, en moyenne, comprises entre -20 dégrés celsius (hiver) et 2 dégrés celsius (été).\\
La moyenne de pluie est autour de 100mm/mois sous forme de neige.\\
On en peut déduire, vue que pas toutes les roches ne sont couvertes de la neige, que la photo a été prise plus tôt en été qu’en hivers.

\subsection{Interprétarion concernant l’impact humain}
Tout proche mais plus visible sur la photo l’homme à construit un lac de barrage pour produire de l’élécricité.\\
Le Lac des Dix est un lac d’accumulation situé à l’arrière du barrage de la Grande-Dixence. Celui-ci barre la rivière Dixence coulant dans le val des Dix. Il a une superficie de 3.65 km2 et une profondeure maximale de 227 mètres pour un total de 400 millions m3 d’eau. Il se situe à 2365 mètres d’altitude. Coincé dans la vallée, sa largeur maximale atteint 600 mètres mais sa longueur se porte à 5.3 km. Il a remplacé l’ancien lac du barrage précédent qui était situé un peu plus en amont.\\
Il est alimenté par plusieurs galeries amenant l’eau depuis de nombreux collecteurs situés près d’Arolla et Zermatt. Le bassin du lac a une superficie de 360 kilomètres carrés et récupère les écoulements sur les versants orientés au nord et proche de la frontière italienne. Au total, 100 km de galeries traversent les montagnes valaisannes. Ces tunnels dont la section peut atteindre celle d’une galerie ferroviaire en certains endroits permettent de capter chaque année plus de 380 millions m3 d’eau. Voir aussi le commentaire concernant le débit.\\
\chapter{Informations supplémentaires}
En ce qui concerne le village d’Arolla:\\
Arolla est un village de la commune d’Évolène, dans le canton du Valais, en Suisse. Il est situé à l’extrémité du val d’Hérens (au sud de Sion) à 1998 m d’altitude.\\
Il est situé au pied du mont Collon et est le lieu de départ du petit parcours de la Patrouille des glaciers, épreuve de ski alpinisme ayant lieu tous les deux ans.\\
\\
Je conseille personnellement la région d’Arolla pour faire de la peau de phoque!\\
\\
Voilà un excellent link sur des travaux universitaires dans la région d’Arolla:\\
http://www.arolla.ethz.ch/bibliography.html\\
\\
Pour le tourisme:\\
http://www.evolene-region.ch/\\
\\
Ceterum Censeo: Les informations sur internet sont à utiliser avec précaution car les rédacteurs de ces sites orientent leurs conclusions en fonction de leurs intérêts, soit politique soit économique etc…de plus internet est une source volatile.\\
%————————————-

\end{document}

Géomorphologie | Géophotographie | Traveaux Pratiques | Systèmes de Drainage | Rivières et Fleuves

Université de Genève Master Bi-Disciplinaire en “Mathématiques et Sciences de la Terre” 2006

Voici le rapport du TP 1 en Géomorphologie & Géophotographie “Systèmes de Drainage, Rivières et Fleuves” en pdf:

TP-01-geomorphologie.pdf

Le code en LaTeX:

% A. PRÄAMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% *****************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrreprt}
\usepackage[ngerman,french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\typearea{12}
\pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{frenchb}
\begin{document}

% B. TITRE https://blogs.ethz.ch/rindi
% *****************************************

\titlehead{
\hfill Genève en Octobre}
\subject{Géomorphologie – Photogéologie}
\title{Simon-Lukas Rinderknecht}
\author{
Travail pratique I\\
Systèmes de drainage, rivières et fleuves\\
No de Carte: 7. 35 30/300  023,024\\
échelle 1: 50 (estimé)\\
L’Arve dans la région de Cluses (France)\\
}

\date{Octobre 2005}
\maketitle
\tableofcontents

% C. PARTIE PRINCIPALE https://blogs.ethz.ch/rindi
% *****************************************

\chapter{Légende}

\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{Legende.jpg}
\end{center}
%—————————————

\chapter{Partie déscriptive}

La photo montre le \emph{passage} d’une rivière (L’Arve) d’une Zone I de montagne dans une Zone II plane.
Une cluse relie les deux Zones.\\

\section{Brève description de l’image}

\subsection{Zone I, montagne}

Le fleuve est en méandre.\\
Il y a des barres fluviales de pointes.\\
On observe une terrasse le long du bassin actuel.\\
La vallée dans laquelle la rivière se trouve est parfois très étroite.\\
L’homme a construit deux voies de circulation le long de la vallée: une route pour les voitures et une voie férrée.\\
Les crêtes de la vallée sont bien visibles et montrent des zones  d’érosion forte.\\
La montagne se trouve dans un stade mature.\\
\\
\subsection{Zone II, pleine}
Le fleuve est moins sauvage et souvent dans des chêneaux construits par l’homme.\\
La Zone II est peuplée et cultivée.\\
Là où la rivière entre dans la Zone II, on voit une ville qui s’allonge le long des rives de la rivière.\\
Sur la pleine, on peut y voir des champs d’agriculture.\\
Différents petits sous-systèmes fluviaux traversent la pleine et se déversent dans la rivière.\\
Les sous-systèmes sont souvent canalisés par l’homme.\\
\\
\\
Il y a un deuxième système fluvial à gauche qui rejoint la rivière principale plus bas.\\

\section{Type de morphologie}

Généralement, on se trouve dans une région alpine.\\
\\
Zone I\\
Le relief est dans un stade mature.\\
L’érosion des crêtes a déjà commencé.\\
Il s’agit d’une zone de production.\\
\\
Zone II\\
La pleine a été formée par des sédiments que la fleuve amène de la Zone I.\\
Il s’agit d’une zone de transport.\\

\section{Zones d’érosion}

Les parties d’érosion se trouvent essentiellement dans la Zone I.\\
Les crêtes montrent des zones d’érosion forte.

\section{Débit}

Le débit dans l’écluse est plus grand que le débit dans la partie où la rivière est en méandre (vitesse de l’eau).\\
Le débit s’accroît avec les sous-systèmes qui se jettent dans le système principal (quantité de l’eau).\\

\section{Végétation}

La végétation correspond à celle des Préalpes.\\
La forêt pousse bien dans la Zone I.\\
On voit une agriculture dans la Zone II.\\
\\
\section{Climat}
Le climat correspond au climat européen préalpin.\\
Les températures sont, en moyenne, comprises entre 10 dégrés celsius (hiver) et 20 dégrés celsius (été).\\
La moyenne de pluie est autour de 100mm/mois.\\
\\
\section{Impact humain}

L’impact humain est surtout visible dans la Zone II:\\
Chêneaux, drainages, ponts, villes, industrie, stade de sport, champs cultivés, chemin de fer, routes pour voitures, etc…\\
\\

%—————————————

\chapter{Partie Interprétative}
\section {Interprétation}
La plaine (Zone II) est immense. Je dirais que le matériel (\emph{sédiments}) provient de la Zone I. Je considère la Zone II comme un <<delta de l’Arve>>. Actuellement ce <<delta>> est une  \emph{zone de transport} pour l’Arve. Le \emph{système fluvial} est artificiellemet contrôlé dans la Zone II parce que l’homme vit juste à côté et essaye donc d’éviter les imprévus de la nature comme par exemple des \emph{inondations}. Par conséquent, vu que le \emph{drainage} est plutôt droit, \emph{la vitesse d’écoulement de l’eau} de l’Arve est élevée. Cela porte entre autre des conséquences sur la \emph{vie biologique}: Les plantes qui normalement s’attachent au bord de la rivière ou dans le fond du bassin fluvial vont être arrachées. Une autre conséquence est que si la rivière accroît pendant une \emph{crue} elle creusera brutalement son bassin et les \emph{barrages} et \emph{chêneaux} artificiellement construits sont énormément vulnérables par le matériel apporté en grande quantité et vitesse.\\
En ce qui concerne la Zone I, je déconseille fortement de pic-niquer sur les  \emph{terrasses fluviatiles} pendant la  \emph{crue du centenaire}. Ca serrait dangereux. Toutes les \emph{terrasses fluviatiles} serraient inondées comme cet été, par exemple, dans la région d’Emmenbrücke (CH/LU). Il n’est certainement pas facile de maintenir la route et le chemin de fer dans la cluse elle-même. Il existe encore (plus haut) deux autres endroits énormément serrés où la rivière et les routes n’ont pas assez de place à cause de la  \emph{géomorphologie} donnée.\\
\\
\section{Informations supplémentaires}

Je pense que la partie de la cluse est un bijou de la nature – le tourisme marche certainement bien là-bas. Les informations sur internet sont à utiliser avec précaution car les rédacteurs de ces sites orientent leurs conclusions en fonction de leurs intérêts, soit politique soit économique etc…\\
\\
http://www.riviere-arve.org/\\
http://etat.geneve.ch/diae/site/eau\\
http://www.annemasse-agglo-tourisme.com/fr/sourcedecouv.html\\

%————————————-

\end{document}

En annexe la légende:

legende

Légende

Skript | Sonderwoche | Deskriptive Statistik

Skript einer Sonderwoche: Deskriptive_Statistik_Skript_08 [pdf, 660KB]

Anbei die Version in LaTeX:

% Diese Vorlage wurde unter anderem von Simon Berwert erstellt.
% Infos zu LaTeX: http://unimac.switch.ch/services/latex/index.de.html
% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrreprt}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphics,wrapfig,times}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{marvosym}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\typearea{12} \pagestyle{headings}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000

\begin{document}

% B. TITELSEITE UND INHALTSVERZEICHNIS https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\titlehead{Kantonsschule XY
\hfill HS~2008\\
Abteilung Mathematik\\
Strasse 99\\
9999 G{\”{u}}gglialp}
\subject{Sonderwoche}
\title{Deskriptive Statistik}
\author{Simon-Lukas.Rinderknecht@gmx.ch}

\maketitle
\tableofcontents

% C. HAUPTTEIL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\chapter{Einf{\”{u}}hrung}
\section{Etymologie (Herkunft des Wortes \emph{Statistik})}

Das Wort Statistik stammt vom lateinischen „\emph{statisticum}“ („den Staat betreffend“). Die deutsche Statistik, eingef{\”{u}}hrt von Gottfried Achenwall (1749), bezeichnete urspr{\”{u}}nglich die Lehre von den Daten {\”{u}}ber den Staat, also Staatstheorie. Im 19. Jahrhundert hatte der Engl{\”{a}}nder Sir John Sinclair das Wort erstmals in seiner heutigen Bedeutung des allgemeinen Sammelns und Auswertens von Daten benutzt.

\section{Ein {\”{u}}berblick}
Von Statistiken wird gefordert, dass sie „objektiv“ (unabh{\”{a}}ngig vom Standpunkt des Statistikerstellers), „reliabel“ (verl{\”{a}}sslich), „valide“ ({\”{u}}berkontextuell g{\”{u}}ltig), „signifikant“ (bedeutend) und „relevant“ (wichtig) sind.\\

Die Statistik wird in die folgenden drei Teilbereiche eingeteilt:
\begin{description}
\item[Deskriptive Statistik:] Die \emph{deskriptive} Statistik (auch beschreibende Statistik oder empirische Statistik): mit der vorliegende Daten in geeigneter Weise beschrieben und zusammengefasst werden. Mit ihren Methoden verdichtet man quantitative Daten zu Tabellen, graphischen Darstellungen und Kennzahlen. Bei einigen Institutionen, z. B. dem Bundesamt f{\”{u}}r Statistik in Neuchâtel (BFU), ist die Erstellung solcher Statistiken die Hauptaufgabe.
\item[Induktive Statistik:] Die \emph{induktive} Statistik (auch mathematische Statistik, schließende Statistik oder Inferenzstatistik): In der induktiven Statistik leitet man aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Grundlagen f{\”{u}}r die erforderlichen Sch{\”{a}}tz- und Testverfahren.
\item[Explorative Statistik:] Die \emph{explorative} Statistik (hypothesen-generierende Statistik, Datensch{\”{u}}rfung (data mining)): Methodisch eine Zwischenform der beiden vorgenannten Teilbereiche, bekommt als Anwendungsform jedoch zunehmend eine eigenst{\”{a}}ndige Bedeutung. Mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Test-Methoden sucht sie systematisch m{\”{o}}gliche Zusammenh{\”{a}}nge (oder Unterschiede) zwischen Daten in vorhandenen Datenbest{\”{a}}nden und will sie zugleich in ihrer St{\”{a}}rke und Ergebnissicherheit bewerten. Die so gefundenen Ergebnisse lassen sich als Hypothesen verstehen, die erst, nachdem darauf aufbauende, induktive Testverfahren mit entsprechenden (prospektiven) Versuchsplanungen sie best{\”{a}}tigten, als statistisch gesichert gelten k{\”{o}}nnen.
\end{description}

Gemeinsam mit der Wahrscheinlichkeitstheorie definiert die mathematische Statistik das mathematische Teilgebiet der Stochastik.
\section{NZZ-Folio Leitartikel: Wieso haben reiche M{\”{a}}nner wenig Haare auf dem Kopf? Wie viele Schweizer gehen zur Kirche? Was ist das geometrische Mittel?}
Aus NZZ Folio 01/06
\subsection{Mittelwert und Streuung}

Ein Schweizer isst zwei Dutzend Cervelas im Jahr. Nat{\”{u}}rlich nur im Durchschnitt {\”{u}}ber alle B{\”{u}}rger des Landes, und damit sind wir schon mitten in der Statistik: Viele Schweizer essen {\”{u}}berhaupt keine Cervelas, andere k{\”{o}}nnen nie genug davon bekommen. In der Summe ergibt das 160 Millionen. Diese Summe, geteilt durch die Zahl der Summanden, heisst auch arithmetisches Mittel; das ist f{\”{u}}r viele der Inbegriff von Durchschnitt {\”{u}}berhaupt.\\

F{\”{u}}r die meisten Zwecke reicht diese Art von Durchschnitt v{\”{o}}llig aus. Aber zuweilen kann das arithmetische Mittel auch in die Irre f{\”{u}}hren: Angenommen, wir geben einem Verm{\”{o}}gensverwalter 100 000 Franken. Nach einem Jahr werden daraus 160 000 Franken – ein Plus von 60 Prozent. Das Jahr darauf f{\”{a}}llt unser Verm{\”{o}}gen auf 80 000 Franken – ein Minus von 50 Prozent. Das arithmetische Mittel der beiden Renditen von einmal +60 und einmal –50 Prozent ist (+60 – 50) : 2 = + 5 Prozent. Anders gesagt: Wir haben am Ende weniger als am Anfang, aber im Durchschnitt nimmt der Wert unseres Verm{\”{o}}gens in jeder Periode zu!\\

Profis wissen nat{\”{u}}rlich, dass man Wachstumsraten niemals arithmetisch mitteln darf. Der korrekte Durchschnitt ist hier jene j{\”{a}}hrliche Rendite, die in zwei Jahren aus 100 000 Franken 80 000 Franken macht, das sind (leicht gerundet) – 10,55 Prozent: Nach einem Jahr werden so aus den anf{\”{a}}nglichen 100 000 Franken damit 10,55 Prozent weniger, das sind 89 450 Franken, das n{\”{a}}chste Jahr werden aus diesen 89 450 Franken nochmals 10,55 Prozent weniger, das sind dann (bis auf Rundungsfehler) 80 000 Franken. Diese Durchschnittsrendite von – 10,55 Prozent findet man {\”{u}}ber das geometrische Mittel der beiden sogenannten Wachstumsfaktoren 1,6 und 0,5. Es wird errechnet, indem man die Wurzel aus 1,6 x 0,5 = 0,8 zieht, das ergibt 0,8945. Von diesem geometrischen Mittel der Wachstumsfaktoren ist dann noch 1 abzuziehen: 0,8945 – 1 = – 0, 1 055.\\

Regelm{\”{a}}ssige Proteste ruft das arithmetische Mittel bei Meldungen der Art hervor, dass etwa niedergelassene {\”{a}}rzte in der Schweiz im Jahr im Durchschnitt 205 000 Franken Einkommen erzielen. «Stimmt {\”{u}}berhaupt nicht, viel zu hoch!» h{\”{o}}rt man dann {\”{a}}rztefunktion{\”{a}}re klagen. «Drei Viertel aller {\”{a}}rzte verdienen weniger, der Durchschnitt betr{\”{a}}gt nur 165 000 Franken!» Das ist auch so, nur haben diese Kritiker nochmals einen anderen Durchschnitt im Sinn, den sogenannten Zentralwert oder Median. Der Median ist der Wert, der in der Mitte steht, wenn man alle Einkommen der Gr{\”{o}}sse nach sortiert. Bei drei Einkommen 1,3 und 8 ist der Zentralwert 3, das arithmetische Mittel aber gr{\”{o}}sser, n{\”{a}}mlich 4, und das ist typisch f{\”{u}}r Merkmale wie Einkommen, Verm{\”{o}}gen oder Grundbesitz, wo oft einige wenige sehr viel mehr haben als alle anderen. Hier liegt der Median in aller Regel unter dem arithmetischen Mittel; er ist unempfindlich gegen hohe Werte am rechten Rand, die wie ein Magnet das arithmetische Mittel nach oben ziehen. Statistiker sagen dazu auch «robust».\\

Und oft blenden nat{\”{u}}rlich Durchschnitte wichtige Informationen einfach aus: Wenn ich im Durchschnitt jeden Tag des Monats einen Viertel Rotwein trinke, aber alle am gleichen Tag, bekomme ich eine Alkoholvergiftung und bin tot. Trinke ich dagegen jeden Tag nur einen, lebe ich sogar l{\”{a}}nger als Leute, die nie Rotwein trinken. Der Durchschnitt ist in beiden F{\”{a}}llen gleich, aber die Abweichung vom Durchschnitt ist im ersten Fall erheblich gr{\”{o}}sser. Deshalb f{\”{u}}gt man Durchschnitten am besten immer auch ein Mass f{\”{u}}r die Abweichung vom Durchschnitt bei, wie die Schwankungsbreite oder die Standardabweichung.\\

Die Schwankungsbreite ist einfach der Abstand zwischen dem gr{\”{o}}ssten und dem kleinsten Wert; die Standardabweichung ist die «durchschnittliche» Abweichung vom Durchschnitt. Bei sogenannten normalverteilten Daten liegen 95 Prozent der F{\”{a}}lle weniger als zwei Standardabweichungen vom arithmetischen Mittel entfernt. Wenn man S{\”{a}}tze h{\”{o}}rt wie «Ein erwachsener Mitteleurop{\”{a}}er hat einen IQ von 100 + / – 15», so ist in aller Regel das damit gemeint. «Normalverteilt» soll dabei heissen, dass sich sehr vieles – fr{\”{u}}her glaubte man sogar: fast alles –, was sich auf dieser Erde messen oder wiegen l{\”{a}}sst, auf eine ganz bestimmte Weise um den Durchschnitt streut: Die Masse dr{\”{a}}ngt sich dicht darum herum, aber mit wachsender Entfernung nimmt die H{\”{a}}ufigkeit der Werte dann glockenf{\”{o}}rmig ab.\\

\subsection{Korrelation und Kausalit{\”{a}}t }

Oft ist bei den Objekten einer Untersuchung mehr als nur eine einzige Variable von Interesse: bei Immobilien die Lage, die Gr{\”{o}}sse und der Preis; bei Partnerschaftsinseraten in der NZZ das Geschlecht, das Alter, die K{\”{o}}rpergr{\”{o}}sse, der Beruf; bei Patienten in der Klinik der Blutdruck und die Dosis eines blutdrucksenkenden Medikaments. Da w{\”{u}}sste man oft gerne: h{\”{a}}ngen diese Variablen zusammen – und wenn ja, wie? Das f{\”{u}}hrt in den Bereich der modernen Statistik, der sich mit Abh{\”{a}}ngigkeiten – sogenannten Korrelationen – und Kausalbeziehungen befasst.\\

Die Grafik «Korrelation und Kausalit{\”{a}}t» stellt die Lebenserwartung der M{\”{a}}nner und das durchschnittliche Pro-Kopf-Einkommen in 25 Schweizer Kantonen einander gegen{\”{u}}ber. Zus{\”{a}}tzlich sind auch noch die beiden arithmetischen Mittelwerte eingetragen. Basel-Stadt ist nicht dabei, weil die Menschen dort zwar viel verdienen (im Durchschnitt 99 000 Franken j{\”{a}}hrlich, das ist Landesrekord), aber dennoch fr{\”{u}}her sterben als in den meisten anderen Kantonen. Solche Datenpunkte, die sich von allen anderen drastisch unterscheiden, heissen Ausreisser; die behandelt man besser getrennt (wobei wir das Spekulieren {\”{u}}ber diesen Ausreisser hier den Soziologen und Demographen {\”{u}}berlassen wollen).\\

Im Grossen und Ganzen leben M{\”{a}}nner in Kantonen mit hohem Durchschnittseinkommen l{\”{a}}nger (Punkte in der Grafik oben rechts); M{\”{a}}nner in Kantonen mit tiefem Durchschnittseinkommen sterben fr{\”{u}}her (Punkte in der Grafik unten links). Dies ist ein Beispiel f{\”{u}}r eine positive Korrelation: je mehr vom einen, desto mehr auch vom andern. Eine negative Korrelation dagegen bedeutet: je mehr vom einen, desto weniger vom andern. (Je mehr Regenschirme verkauft werden, desto weniger Sonnencrème wird abgesetzt.) Das Mass der Abh{\”{a}}ngigkeit von zwei Variablen (Durchschnittseinkommen / Lebenserwartung) ist der sogenannte Korrelationskoeffizient. Er liegt zwischen minus eins (maximale negative Korrelation) und plus eins (maximale positive Korrelation) und dr{\”{u}}ckt aus, wie sicher man zum Beispiel vom Durchschnittseinkommen auf die Lebenserwartung schliessen kann. In unserem Beispiel hat der Korrelationskoeffizient den Wert 0,49.\\

Oft wird aus einer positiven oder negativen Korrelation auf eine positive oder negative Kausalbeziehung geschlossen. Das ist nicht immer richtig. Es gibt zum Beispiel bei erwachsenen M{\”{a}}nnern eine bemerkenswerte negative Korrelation zwischen dem Einkommen und der Zahl der Haare auf dem Kopf. Aber weder sind die Haare f{\”{u}}r das Einkommen noch ist das Einkommen f{\”{u}}r die Haare verantwortlich zu machen – diese negative Korrelation kommt dadurch zustande, dass beide Variablen von einer dritten Variablen, dem Lebensalter, abh{\”{a}}ngen: mit wachsendem Alter nimmt das Einkommen zu, und die Haare fallen aus. Bei der Interpretation von Korrelationen ist also immer darauf zu achten, dass man keine dritte, eigentlich kausale Variable {\”{u}}bersieht.\\

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=14.5cm]{folio.pdf}
\end{figure}

\subsection{Stichproben und Umfragen }

Bevor man Mittelwerte, Standardabweichungen oder Korrelationskoeffizienten ausrechnet, muss man die Daten nat{\”{u}}rlich erst einmal haben. Daf{\”{u}}r behilft man sich oft mit Stichproben; sie reichen f{\”{u}}r viele Zwecke v{\”{o}}llig aus. Wie bei einer Polizeikontrolle, wo man aus einer winzigen Stichprobe unseres Blutes den gesamten Alkoholanteil problemlos abliest, l{\”{a}}sst sich auch aus einer Stichprobe von 1000 oder 2000 befragten B{\”{u}}rgern recht pr{\”{a}}zise hochrechnen, wie viele Schweizer insgesamt einen EU-Beitritt ablehnen oder sonntags in die Kirche gehen.\\

Vorausgesetzt, die Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe kommt, wird wie ein Kartenspiel oder der Inhalt einer Urne vorher gut gemischt. Unser Blut besorgt dieses Mischen mit Hilfe physikalisch-chemischer Gesetze von allein. Bei der Bev{\”{o}}lkerung der Schweiz wird das Durchmischen nur simuliert. Das Standardverfahren daf{\”{u}}r ist eine sogenannte einfache Zufallsstichprobe: alle Schweizer haben die gleiche Chance, in die Stichprobe zu kommen. Wir verteilen quasi Nummern, f{\”{u}}r jeden erwachsenen Schweizer B{\”{u}}rger eine, notieren diese Nummer auf einer Lottokugel, legen die Kugeln in eine grosse Urne, sch{\”{u}}tteln kr{\”{a}}ftig und ziehen tausend Kugeln zuf{\”{a}}llig heraus. Aufgrund dieser Stichprobe wissen wir mit grosser Zuverl{\”{a}}ssigkeit, welcher Anteil der erwachsenen Schweizer nicht in die EU will oder sonntags in die Kirche geht.\\

In der Praxis kann man nat{\”{u}}rlich nur versuchen, diesem Ideal des Ziehens aus einer Urne m{\”{o}}glichst nahe zu kommen. Die Repr{\”{a}}sentativit{\”{a}}t der Stichprobe l{\”{a}}sst sich verbessern, wenn man getrennte Urnen f{\”{u}}r M{\”{a}}nner und Frauen oder f{\”{u}}r die B{\”{u}}rger verschiedener Kantone vorsieht. Solche «geschichteten» Stichproben garantieren, dass die landesweiten Geschlechter- oder kantonalen Proportionen in der Stichprobe erhalten bleiben. Bei einfachen Zufallsstichproben ist das nicht notwendig der Fall.\\

Abweichungen von diesem zentralen Zufallsprinzip f{\”{u}}hren zu verzerrten Stichproben – mit zuweilen desastr{\”{o}}sen Folgen. Man stelle sich vor, wir fragten zum Sonntagskirchgang nur die Teilnehmer des Hochamts in der Z{\”{u}}rcher Liebfrauenkirche. Dann w{\”{u}}rden hochgerechnet vielleicht 90 Prozent aller Schweizer regelm{\”{a}}ssig sonntags in die Kirche gehen. Die bisher gr{\”{o}}sste derartige Pleite widerfuhr der amerikanischen Wochenzeitschrift «Literary Digest» im Jahr 1936: Sie hatte vor der Pr{\”{a}}sidentenwahl mehrere Millionen US-B{\”{u}}rger befragt (eine nach heutigen Massst{\”{a}}ben gewaltige Stichprobe), wen sie zu w{\”{a}}hlen ged{\”{a}}chten. Es siegte mit grossem Vorsprung der Republikaner Landon. Die Wahl gewann jedoch Roosevelt mit {\”{u}}ber 60 Prozent der Stimmen. Warum die Fehlprognose? Die Stichprobe war aus Telefonregistern und Fahrzeugzulassungen gezogen worden – die meisten W{\”{a}}hler Roosevelts hatten damals aber weder ein Auto noch ein Telefon.\\

Zus{\”{a}}tzliche Verzerrungen drohen ferner immer dann, wenn man die gew{\”{u}}nschten Informationen nicht wie die K{\”{o}}rpergr{\”{o}}sse oder den Stromverbrauch einfach misst oder abliest, sondern erfragt. Aus den USA weiss man, dass m{\”{u}}ndliche Interviews zu den Themen Abtreibung, Todesstrafe oder Sozialhilfe andere Ergebnisse haben, je nachdem, ob der Interviewer ein Schwarzer oder ein Weisser ist. Auch die Reihenfolge der Fragen und nat{\”{u}}rlich die konkrete Formulierung sind f{\”{u}}r das Ergebnis von erheblicher Bedeutung. So fragte etwa die Forscherin Elisabeth Noelle-Neumann einmal eine repr{\”{a}}sentative Stichprobe von Arbeitern: «Finden Sie, dass in einem Betrieb alle Arbeiter in der Gewerkschaft sein sollten?» Resultat: daf{\”{u}}r 44 Prozent; dagegen 20 Prozent; unentschieden 36 Prozent.\\

Dann legte sie einer anderen, gleich grossen und ebenfalls repr{\”{a}}sentativen Stichprobe die gleiche Frage vor, nur mit der Erg{\”{a}}nzung «…oder muss man es jedem einzelnen {\”{u}}berlassen, ob er in der Gewerkschaft sein will oder nicht?». Ergebnis: daf{\”{u}}r 24 Prozent; selbst {\”{u}}berlassen 70 Prozent; unentschieden 6 Prozent. Der scheinbar unschuldige Zusatz halbiert die Anh{\”{a}}ngerschaft der Gewerkschaften von 44 auf nur noch 24 Prozent; zugleich l{\”{a}}sst er die Gegner von 20 auf 70 Prozent anwachsen – eine mehr als dreifach gr{\”{o}}ssere Opposition nur wegen eines kleinen Nebensatzes.\\

Einen grossen Unterschied macht es auch, ob man etwas «verbieten» oder «nicht erlauben» soll. 54 Prozent der Befragten in einer amerikanischen Umfrage meinten, dass die USA {\”{o}}ffentliche Angriffe auf die Demokratie verbieten sollten. Erheblich mehr, n{\”{a}}mlich 75 Prozent, waren der Meinung, die USA sollten {\”{o}}ffentliche Angriffe auf die Demokratie nicht erlauben.\\

Diese Abh{\”{a}}ngigkeit der Ergebnisse von der Art der Fragestellung l{\”{a}}dt nat{\”{u}}rlich zur bewussten Irref{\”{u}}hrung ein. Nach einer Umfrage einer deutschen Gewerkschaft lehnen 95 Prozent der bundesdeutschen Arbeitnehmer das Arbeiten am Samstag ab. Nach einer zeitgleichen Umfrage eines eher unternehmernahen Instituts dagegen sind 72 Prozent aller Arbeitnehmer auch zum Arbeiten am Wochenende bereit. Der Widerspruch erkl{\”{a}}rt sich durch die jeweiligen Fragebogen. «Votum f{\”{u}}r das freie Wochenende» steht bei der Gewerkschaft in grossen Lettern obenan. Es folgt eine lange Erl{\”{a}}uterung der M{\”{u}}hen, die das Durchsetzen der 5-Tage-Woche die Gewerkschaften gekostet habe, und eine Aufz{\”{a}}hlung aller Vorteile, die der freie Samstag f{\”{u}}r die Familie, die Gesellschaft, den Frieden und die Menschheitszukunft bringe, die dann zu der eigentlichen Frage {\”{u}}berleitet: «Was entspricht Deiner/Ihrer Meinung? (I) Nach meiner Ansicht w{\”{a}}re die Abschaffung des freien Wochenendes ein schwerer Schlag f{\”{u}}r Familie, Freundschaften, Partnerschaften, f{\”{u}}r Geselligkeit, Vereine, den Sport und das Kulturleben; (II) Ich halte den gemeinsamen Freizeitraum des Wochenendes f{\”{u}}r nicht so wichtig; (III) Weiss nicht / keine Angabe.» Dass hier fast alle wie gew{\”{u}}nscht die erste Antwort w{\”{a}}hlen, sollte niemanden erstaunen.\\

Genauso suggestiv, wenn auch mit umgekehrter Absicht, fragte das Unternehmerinstitut. Auf die Frage: «Inwieweit w{\”{a}}ren Sie bereit, samstags zu arbeiten, wenn es f{\”{u}}r die wirtschaftliche Situation Ihres Unternehmens gut w{\”{a}}re?» bietet es folgende Auswahlm{\”{o}}glichkeiten an: (I) gelegentlich, wenn daf{\”{u}}r an einem anderen Tag arbeitsfrei ist; (II) h{\”{a}}ufiger, wenn daf{\”{u}}r ein Zusatzurlaub herauskommt; (III) abwechselnd und (IV) nicht bereit. Auch hier waren die wenigen Kreuze bei «nicht bereit» schon im Fragebogen und in der Art der Fragen angelegt. Solche Umfragen, ob von einem Automobilclub zum Thema Tempolimit, ob von Greenpeace zum Atomausstieg oder von der katholischen Kirche zur Frage der Abtreibung, bel{\”{u}}gen uns in aller Regel {\”{u}}ber die wahre Meinung der befragten Menschen.\\

\subsection{Was heisst eigentlich «signifikant»?}

Zur{\”{u}}ck zu unserem Ausgangspunkt, dem Cervelas. Im Sommer 2005 liess NZZ-Folio zehn Sorten dieser Wurst von vier Pr{\”{u}}fern auf einer Skala von 1 bis 20 benoten; das Ergebnis war im Heft 7/2005 zu lesen. Der beste Cervelas erreichte im Durchschnitt {\”{u}}ber alle Pr{\”{u}}fer 15,5 Punkte, der schlechteste 12,75. Aber ist der am schlechtesten bewertete Cervelas auch wirklich schlechter? Oder k{\”{o}}nnen solche Unterschiede auch zuf{\”{a}}llig zustande kommen? Schliesslich schmeckt ja auch ein und derselbe Cervelas nicht jedem Pr{\”{u}}fer immer gleich, seine Bewertungen weichen zuf{\”{a}}llig, aufgrund der Reihenfolge der Verkostung, aufgrund von unterschiedlichem Appetit und Dutzenden weiterer Faktoren, von der f{\”{u}}r ihn «wahren» Note mehr oder weniger nach oben und nach unten ab.\\

Nehmen wir also einmal an, alle Cervelas w{\”{a}}ren von der gleichen Qualit{\”{a}}t; jeder Pr{\”{u}}fer h{\”{a}}tte f{\”{u}}r diese Qualit{\”{a}}t seine eigene «wahre» Bewertung, der Pr{\”{u}}fer A zum Beispiel 13,5; diese Note w{\”{a}}re bei Pr{\”{u}}fer A f{\”{u}}r alle W{\”{u}}rste gleich und nur durch eine Zufallskomponente {\”{u}}berlagert. Dann l{\”{a}}sst sich mit einigen Rechenregeln zu Wahrscheinlichkeiten zeigen, dass in der Tat das in NZZ-Folio 7/2005 gemeldete Ergebnis auch durch reinen Zufall erkl{\”{a}}rt werden k{\”{o}}nnte. Oder in der Sprache der Statistik: Die beobachteten Unterschiede sind nicht signifikant.\\

Signifikant dagegen heisst: Ein in den Daten sichtbares Muster ist nur schwer durch Zufall zu erkl{\”{a}}ren. Also, so der Umkehrschluss, steckt ein System dahinter. «Nur schwer durch Zufall zu erkl{\”{a}}ren» meint dabei im Allgemeinen: Wenn wirklich nur der Zufall wirken w{\”{u}}rde, h{\”{a}}tte das beobachtete Muster eine Wahrscheinlichkeit von h{\”{o}}chstens 5 Prozent. (Diese Grenze, auch Signifikanzniveau genannt, ist nat{\”{u}}rlich willk{\”{u}}rlich, wenn auch in den meisten Wissenschaften {\”{u}}blich. Mit dem gleichen Recht k{\”{o}}nnte man auch 1 Prozent oder 10 Prozent verwenden.)\\

Diese heute in allen Wissenschaften {\”{u}}bliche Methode zur Trennung von Zufall und System hat aber einen grossen und auch von den Wissenschaftern gern {\”{u}}bersehenen Pferdefuss: Die statistischen Verfahren zur Trennung von Zufall und System zeigen selbst bei Abwesenheit jedes systematischen Einflusses in immerhin 5 Prozent der F{\”{a}}lle dennoch eine Signifikanz an – so sind die Verfahren ja gerade konstruiert. Auch wissenschaftliche Fachzeitschriften und ihre Herausgeber vergessen das nur allzu gerne.\\

Und so k{\”{o}}nnen wir dann in den Medien lesen, dass neun Monate nach einem Stromausfall in X dort die Geburten angestiegen sind, dass Katholiken d{\”{u}}mmer sind als Protestanten, dass Knoblauchesser l{\”{a}}nger leben, dass Manager lieber Fluggesellschaft A als B benutzen, dass die Todesstrafe abschreckt, dass die Todesstrafe nicht abschreckt (je nach Weltanschauung), dass Schwarze krimineller sind als Weisse, dass Chemiefabriken (Starkstromleitungen, M{\”{u}}ll deponien) Leuk{\”{a}}mie erzeugen. Selbstverst{\”{a}}ndlich alles wissenschaftlich abgesichert und hoch signifikant.\\

Wir lesen jedoch nicht, wie viele andere Studien und Stichproben ohne signifikante Resultate es ausserdem gegeben hat. Wir lesen nicht, in wie vielen Studien Katholiken genauso klug sind wie Protestanten oder Manager lieber Fluglinie B als Linie A benutzen oder Industriebetriebe keine Leuk{\”{a}}mie erzeugen. Und ehe wir das nicht wissen, l{\”{a}}sst sich auch die wahre Bedeutung der angeblich so signifikanten Resultate nicht ermessen.\\

Walter Kr{\”{a}}mer ist Professor f{\”{u}}r Wirtschafts- und Sozialstatistik an der Universit{\”{a}}t Dortmund. Zu seinen popul{\”{a}}ren B{\”{u}}chern geh{\”{o}}ren «So l{\”{u}}gt man mit Statistik» und «Statistik verstehen: eine Gebrauchsanweisung» (beide als Taschenbuch bei Piper).\\

\chapter{Mittelwerte}
Mittelwerte treten in der Mathematik und insbesondere in der Statistik in inhaltlich unterschiedlichen Kontexten auf. In der Statistik ist ein Mittelwert ein sog. \emph{Lageparameter}, also ein aggregierender Parameter einer Verteilung, einer Stichprobe oder Grundgesamtheit. Ziel solcher aggregierender Parameter ist es, die wesentliche Information in einer l{\”{a}}ngeren Reihe von (z. B.) Messdaten in wenigen Daten zu konzentrieren. In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (Arithmetisches, Geometrisches und Harmonisches Mittel) bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet 10 verschiedene Mittelwerte m von 2 Zahlen $a$ und $b$ $(a < b)$ durch spezielle Werte des Streckenverh{\”{a}}ltnisses $(b – m)/(m – a)$. Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert.

Spezifisch f{\”{u}}r nimmers{\”{a}}ttliche Alleswisser: Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im wesentlichen im Zusammenhang mit ber{\”{u}}hmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexit{\”{a}}t (H{\”{o}}lder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Jensensche Ungleichung usw.). Dabei wurden die klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zun{\”{a}}chst zu den Potenzmittelwerten und diese wiederum zu den quasi-arithmetischen Mittelwerten. Die klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei {\”{u}}ber in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenzmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten.\\

Im Folgenden seien $x_{1}, …, x_{n}$ gegebene reelle Zahlen, in der Statistik etwa Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.

\section{Arithmetisches Mittel}
\subsection{Definition}
Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt) ist ein rechnerisch bestimmter Mittelwert. Es ist so definiert:
\begin{equation}
\label{arithm}
\displaystyle
\bar{x}_{arithm}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2}+…+x_{n}}{n}
\end{equation}
\subsection{Anwendungsbeispiel}
Ein Auto f{\”{a}}hrt eine Stunde lang $100$ km/h und die darauf folgende Stunde $200$ km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in $2$ Stunden zur{\”{u}}ckzulegen? (Rechne – wer kann! Antwort: $15$ km/h)
\subsection{Spezialfall: Gewichtetes arithmetisches Mittel}
Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte $x_i$,  aus n Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumf{\”{a}}ngen wi miteinander kombinieren will:
\begin{equation}
\displaystyle
\label{gewartithm}
\bar{x}_{gewarithm}=\frac{\sum_{i=1}^{n} \omega_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \omega_{i}}
\end{equation}
Beispiel: Ein Sch{\”{u}}ler erarbeitet sich folgende Noten: $\{6,5,4,6,5.5\}$. Die $4$ ist eine Streichnote und die $5$ z{\”{a}}hlt nur halb. Wie gross sind die Gewichtungen der Noten numerisch? Was ist die Schlussnote?
\section{Geometrisches Mittel}
\subsection{Definition}
Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt der positiven Zahlen $x_{1}, …, x_{n}$.
\begin{equation}
\displaystyle
\label{geom}
\bar{x}_{geom}=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_{i}}=\sqrt[n]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot…\cdot x_{n}}
\end{equation}
Es ist in der Statistik ein geeignetes Lagemaß f{\”{u}}r Gr{\”{o}}ßen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verh{\”{a}}ltnissen oder Wachstumsraten.
\subsection{Anwendungsbeispiel}
Ein Guthaben G wird im ersten Jahr mit zwei Prozent, im zweiten Jahr mit sieben und im dritten Jahr mit f{\”{u}}nf Prozent verzinst. Welcher {\”{u}}ber die drei Jahre konstante Zinssatz p h{\”{a}}tte zum Schluss das gleiche Kapital ergeben?\\

Guthaben $G_{Ende}$ am Ende des dritten Jahres:
\begin{displaymath}
\displaystyle
G_{Ende}=\Bigg(1+\frac{2}{100}\Bigg)\Bigg(1+\frac{7}{100}\Bigg)\Bigg(1+\frac{5}{100}\Bigg)G
\end{displaymath}
oder mit Zinsfaktoren geschrieben
\begin{displaymath}
G_{Ende}=1.2 \cdot 1.7 \cdot 1.5 \cdot G
\end{displaymath}
Mit konstantem Zinssatz $p$ und zugeh{\”{o}}rigen Zinsfaktor $1 + p$ ergibt sich am Ende ein Guthaben von
\begin{displaymath}
G_{Ende}=(1+p)^3 \cdot G
\end{displaymath}
Mit $G_{konst} = G_{Ende}$ ergibt sich
\begin{displaymath}
(1+p)^3 \cdot G = 1.2 \cdot 1.7 \cdot 1.5 \cdot G
\end{displaymath}
und damit berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor $1+p$ zu
\begin{displaymath}
1+p=\sqrt[3]{1.2 \cdot 1.7 \cdot 1.5} \approx 1.04646
\end{displaymath}

Der durchschnittliche Zinssatz betr{\”{a}}gt also ca $4.646 \%$. Allgemein berechnet sich der durchschnittliche Zinsfaktor also aus dem geometrischen Mittel der Zinsfaktoren der einzelnen Jahre. Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist der durchschnittliche Zinssatz \emph{kleiner} oder bestenfalls gleich dem arithmetischen Mittel der Zinss{\”{a}}tze, welches in diesem Beispiel $\frac{14}{3}\% \approx 4.667 \%$ betr{\”{a}}gt.
\subsection{Spezialfall: Gewichtetes geometrisches Mittel}
Analog zum gewichteten arithmetischen Mittel l{\”{a}}sst sich ein mit den Gewichten $w_{i} > 0$ gewichtetes geometrisches Mittel definieren:
\begin{equation}
\displaystyle
\label{gewgeom}
\bar{x}_{gewgeom}=\sqrt[\omega]{\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\omega_{i}}}=\sqrt[\omega]{x_{1}^{\omega_{1}}\cdot x_{2}^{\omega_{2}}\cdot…\cdot x_{n}^{\omega_{n}}} \qquad \mathrm{wobei}~  \omega=\sum_{i=1}^{n} \omega_{i}=1
\end{equation}
\section{Harmonisches Mittel}
\subsection{Definition}
Das harmonische Mittel ist definiert als
\begin{equation}
\label{harmon}
\bar{x}_{harm}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_{i}}}}
\end{equation}
Durch Bildung des Kehrwertes erh{\”{a}}lt man
\begin{displaymath}
\displaystyle
\label{harmon}
\frac{1}{\bar{x}_{harm}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_{i}}}}{n}
\end{displaymath}
der Kehrwert des harmonischen Mittels ist also das arithmetische Mittel der Kehrwerte.
\subsection{Anwendungsbeispiel}
Beispiel f{\”{u}}r das harmonische Mittel von $5$ und $20$:
\begin{displaymath}
\frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{20}}=\frac{2}{\frac{1}{4}}=8
\end{displaymath}
Mit dieser Formel ist das harmonische Mittel zun{\”{a}}chst nur f{\”{u}}r von Null verschiedene Zahlen $x_{i}$ definiert. Geht aber einer der Werte $x_{i}$ gegen Null, so existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls gleich Null. Daher ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als Null zu definieren, wenn mindestens eine der zu mittelnden Gr{\”{o}}ßen gleich Null ist.
\subsection{Spezialfall: Gewichtetes harmonisches Mittel}
Auch hier l{\”{a}}sst sich ein mit den Gewichten $\omega_{i} > 0$ gewichtetes harmonisches Mittel definieren:
\begin{equation}
\label{gewharm}
\bar{x}_{gewharmon}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{\omega_{i}}{x_{i}}}}
\end{equation}
F{\”{a}}hrt man eine Stunde mit $50$ km/h und dann eine Stunde mit $100$ km/h, so legt man insgesamt $150$ km in $2$ Stunden zur{\”{u}}ck; die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $75$ km/h, also das arithmetische Mittel von $50$ und $100$. Bezieht man sich hingegen nicht auf die ben{\”{o}}tigte Zeit, sondern auf die durchfahrene Strecke, so wird die Durchschnittsgeschwindigkeit durch das harmonische Mittel beschrieben: f{\”{a}}hrt man $100$ km mit $50$ km/h und dann $100$ km mit $100$ km/h, so legt man $200$ km in $3$ Stunden zur{\”{u}}ck, die Durchschnittsgeschwindigkeit ist $66$ $2/3$ km/h, also das harmonische Mittel von $50$ und $100$.

Allgemein gilt: Ben{\”{o}}tigt man f{\”{u}}r die Teilstrecke $s_1$ die Zeit $t_1$ (also Durchschnittsgeschwindigkeit $v_1 = s_1 / t_1$) und f{\”{u}}r die Teilstrecke $s_2$ die Zeit $t_2$ (also Durchschnittsgeschwindigkeit $v_2 = s_2 / t_2$, so gilt f{\”{u}}r die Durchschnittsgeschwindigeit {\”{u}}ber die gesamte Strecke
\begin{displaymath}
v=\frac{s_{1}+s_{2}}{t_{1}+t_{2}}=\frac{s_{1}+s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}}+\frac{s_{2}}{v_{2}}}=\frac{t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}}{t_{1}+t_{2}}
\end{displaymath}
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten oder das mit der ben{\”{o}}tigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

\chapter{Streuungswerte}

\section{Schwankungsbreite}
\subsection{Definition}
Die Schwankungsbreite ist das Intervall zwischen dem gr{\”{o}}ssten und dem kleinsten Wert der Verteilung. Die Schwankungsbreite ist ein grober Sch{\”{a}}tzwert f{\”{u}}r die Streuung der Verteilung.
\begin{equation}
s=x_{max}-x_{min}
\end{equation}

\section{Standardabweichung}
Die Standardabweichung ist ein Maß, das beschreibt, wie sehr ein Sachverhalt „streut“. Sie wird berechnet, indem man die Abst{\”{a}}nde der Messwerte vom Mittelwert quadriert, addiert und durch die Anzahl der Messwerte teilt.
\subsection{Definition}
\begin{equation}
s=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^N(x_i-\bar{x})^2}{N}}
\end{equation}
\subsection{Anwendungsbeispiel}
Die Bestimmung der Gewichte von $5$ Tabletten ergab in Gramm: $\{0.62; 0.64; 0.68; 0.65\}$\\
Berechne die Standardabweichung der Verteilung:\\

\fbox{\parbox{16cm}{\vspace{1cm}s = \vspace{1cm}}}\\
\subsubsection{TI-92 Voyager}
Die Standardabweichung einer Werteliste \texttt{liste} l{\”{a}}sst sich mit dem Taschenrechner direkt berechnen. Der Befehl lautet: \texttt{stddev(liste)}.\\
\textbf{Aufgabe}
{\”{u}}berpr{\”{u}}fe mit dem Taschenrechner die berechnete Standardabweichung.

\chapter{Stichproben / Sampling}
\section{Definition}
Als Stichprobe bezeichnet man eine Teilmenge einer Grundgesamtheit\footnote{In der empirischen Forschung bezeichnet die Grundgesamtheit (auch Population) die Menge aller potentiellen Untersuchungsobjekte f{\”{u}}r eine bestimmte Fragestellung. Aus pragmatischen Erw{\”{a}}gungen wird normalerweise nicht die Grundgesamtheit, sondern eine Stichprobe untersucht, die f{\”{u}}r die Grundgesamtheit repr{\”{a}}sentativ ist.}, die unter bestimmten Gesichtspunkten ausgew{\”{a}}hlt wurde. Mit Stichproben wird in Anwendungen der Statistik (etwa in der Marktforschung, aber auch in der Qualit{\”{a}}tskontrolle und in der naturwissenschaftlichen, medizinischen und psychologischen Forschung) h{\”{a}}ufig gearbeitet, da es oft nicht m{\”{o}}glich ist, die Grundgesamtheit, etwa die Gesamtbev{\”{o}}lkerung oder alle hergestellten Exemplare eines Produkts, zu untersuchen. Grundgedanke der Zuhilfenahme von Stichproben ist das Induktionsprinzip, bei dem von besonderen auf allgemeine F{\”{a}}lle geschlossen wird.\\

Um die einzelnen Elemente einer Stichprobe zu erhalten, stehen verschiedene Auswahlverfahren zur Verf{\”{u}}gung. Die korrekte Wahl des Auswahlverfahrens ist wichtig, da die Stichprobe repr{\”{a}}sentativ sein muss, um auf die Grundgesamtheit schließen zu k{\”{o}}nnen (siehe dazu z. B. Hochrechnung). Entscheidend ist eine vern{\”{u}}nftige Probenahme, die {\”{u}}ber den Erfolg der Aussage entscheidet. H{\”{a}}ufig sind mehrere Tests notwendig um sicherzustellen, dass tats{\”{a}}chlich rational entschieden wurde.

\section{Stichproben-Typen}

Sollen zwei Stichproben mittels statistischer Tests miteinander verglichen werden, so muss zwischen abh{\”{a}}ngigen und unabh{\”{a}}ngigen Stichproben unterschieden werden:
\begin{description}
\item[Abh{\”{a}}ngige Stichproben:]  Elemente von zwei (oder mehr) Stichproben k{\”{o}}nnen einander jeweils paarweise zugeordnet werden. Beispiel: Stichprobe 1 besteht aus Personen vor der Behandlung mit einem bestimmten Medikament, und soll verglichen werden mit Stichprobe 2, welche aus den gleichen Personen nach der Behandlung besteht.

\item[Unabh{\”{a}}ngige Stichproben: ] Es besteht kein Zusammenhang zwischen den Elementen der Stichproben. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Elemente der Stichproben jeweils aus unterschiedlichen Population kommen (z. B. Stichprobe 1 besteht aus Frauen, Stichprobe 2 aus M{\”{a}}nnern), oder wenn Personen nach dem Zufallsprinzip in zwei oder mehrere Gruppen aufgeteilt werden.
\end{description}

\section{Auswahlverfahren}
Ein Auswahlverfahren ist die Art und Weise, wie Personen oder Dinge f{\”{u}}r einen Zweck ausgew{\”{a}}hlt werden. Die Statistik besch{\”{a}}ftigt sich in der Kombinatorik mit grunds{\”{a}}tzlich m{\”{o}}glichen Auswahlen. In der Empirie werden mehrere Verfahren (Stichprobenverfahren) zur Auswahl einer repr{\”{a}}sentativen Stichprobe unterschieden. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten eines Elementes der Grundgesamtheit, je nach Auswahlverfahren in die Stichprobe zu gelangen, nennt man Einschlusswahrscheinlichkeit. Als Auswahlverfahren werden auch kommerzielle Verfahren bezeichnet, die an Repr{\”{a}}sentativit{\”{a}}t nicht interessiert sind. Die tats{\”{a}}chliche Auswahl der Auskunftgebenden erfolgt z. B. mit dem Random-Route-Verfahren und dem Schwedenschl{\”{u}}ssel.\\

In der Empirie dient das Auswahlverfahren (auch Stichprobenverfahren) der Ermittlung einer repr{\”{a}}sentativen Stichprobe. Man unterscheidet generell Stufung, Schichtung und Klumpung. Die verschiedenen Typen von Auswahlverfahren k{\”{o}}nnen folgendermaßen charakterisiert werden:\\
\begin{description}
\item[Zufallsauswahlverfahren: ] Bei einem Zufallsauswahlverfahren (auch Wahrscheinlichkeitsauswahl, Zufalls-Stichprobe, Zufallsauswahl, Random-Sample) hat jedes Element der Grundgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit (gr{\”{o}}ßer Null), in die Stichprobe zu gelangen. Das erfordert die vorherige Erstellung eines Gesamtverzeichnisses aller Elemente der Grundgesamtheit. Man unterscheidet einstufige und mehrstufige Zufallsauswahlverfahren. Nur bei Zufallsauswahlen sind streng genommen die Methoden der induktiven Statistik anwendbar.
\item[Systematische Stichproben:]  Auswahlverfahren, bei denen subjektive Erw{\”{a}}gungen die Auswahl der Zielpersonen bestimmen. Es werden Vorinformationen {\”{u}}ber die auszuw{\”{a}}hlenden F{\”{a}}lle genutzt. Verallgemeinerungen sind auf der Basis mathematisch-statistischer Modelle bei bewussten Auswahlen nicht m{\”{o}}glich.

\item[Willk{\”{u}}rliche Stichproben: ]Elemente aus der Grundgesamtheit werden (etwa von einem Interviewer) mehr oder weniger willk{\”{u}}rlich in die Stichprobe aufgenommen, es liegt ausschließlich im Ermessen des Interviewers oder auch der Untersuchungspersonen selbst.
\end{description}

\chapter{Erstellen einer eigenen Statistik}

Versuchen Sie, so gut wie Ihnen m{\”{o}}glich, die folgenden f{\”{u}}nf Kriterien zu erf{\”{u}}llen: „Objektivit{\”{a}}t“ (Unabh{\”{a}}ngigkeit vom Standpunkt des Statistikerstellers), „Reliabilit{\”{a}}t“ (Verl{\”{a}}sslichkeit), „Validit{\”{a}}t“ ({\”{u}}berkontextuelle G{\”{u}}ltigkeit), „Signifikanz“ (Bedeutsamkeit) und „Relevanz“ (Wichtigkeit).\\

\section{Aufgabe 1: Erstellen einer K{\”{o}}rpergr{\”{o}}ssen-Handfl{\”{a}}chen Statistik}

Messen Sie alle K{\”{o}}rpergr{\”{o}}ssen und Handfl{\”{a}}chen in der Klasse aus.Wir m{\”{o}}chten es ganz genau wissen. Pr{\”{a}}sentieren Sie Ihre Resultate grafisch sowie m{\”{u}}ndlich. Gibt es eine Korrelation zwischen den beiden erhobenen Datens{\”{a}}tzen? Zusatz: Wie verhalten sich die Daten in Abh{\”{a}}ngigkeit mit dem Alter der Personen?

\section{Aufgabe 2: Erstellen einer Raucher und Drogen Statistik}

Erheben Sie Daten. Ziehen Sie alle m{\”{o}}glichen M{\”{o}}glichkeiten in Betracht, denn wir wollen es ganz genau wissen. Wieviel wird an der Kantonsschule Luzern geraucht? Vieviele Drogen werden an der Kantonsschule Luzern konsumiert? Pr{\”{a}}sentieren Sie Ihre Resultate m{\”{u}}ndlich und grafisch und verweisen Sie auf alle Schwierigkeiten, die Sie bew{\”{a}}ltigen mussten.

\chapter{Korrelation, lineare Regression, R-Software}

\section{Korrelation}
\subsection{Definition}
Die Korrelation ist eine Beziehung zwischen zwei oder mehr statistischen Variablen. Wenn sie besteht, ist noch nicht gesagt, ob eine Gr{\”{o}}ße die andere kausal beeinflusst, ob beide von einer dritten Gr{\”{o}}ße kausal abh{\”{a}}ngen oder ob sich {\”{u}}berhaupt ein Kausalzusammenhang folgern l{\”{a}}sst.
\subsection{Genauere Beschreibung}
Es gibt positive und negative Korrelationen. Ein Beispiel f{\”{u}}r eine positive Korrelation (je mehr, desto mehr) ist: Je mehr Futter, desto dickere K{\”{u}}he. Ein Beispiel f{\”{u}}r eine negative Korrelation (je mehr, desto weniger) ist: „Je mehr zur{\”{u}}ckgelegte Strecke mit dem Auto, desto weniger Treibstoff ist vorhanden.“
H{\”{a}}ufig benutzt man zu Recht die Korrelation, um einen Hinweis darauf zu bekommen, ob zwei statistische Gr{\”{o}}ßen urs{\”{a}}chlich miteinander zusammenh{\”{a}}ngen. Das funktioniert immer dann besonders gut, wenn beide Gr{\”{o}}ßen durch eine „Je…desto“ Beziehung miteinander zusammenh{\”{a}}ngen und eine der Gr{\”{o}}ßen nur von der anderen Gr{\”{o}}ße abh{\”{a}}ngt.\\
Beispielsweise kann man unter bestimmten Bedingungen nachweisen, dass Getreide umso besser gedeiht, je mehr man es bew{\”{a}}ssert. H{\”{a}}ngt die Menge oder Qualit{\”{a}}t des Getreides jedoch zus{\”{a}}tzlich zum Wasser noch von anderen Variablen ab (beispielsweise von der Temperatur, dem N{\”{a}}hrstoffgehalt des Bodens, dem einfallenden Licht usw.), „verw{\”{a}}scht“ der kausale Zusammenhang in der Statistik immer mehr, falls nicht gleichzeitig diese Variablen auch untersucht werden.
Die Korrelation beschreibt aber nicht unbedingt eine Ursache-Wirkungs-Beziehung in die eine oder andere Richtung. So darf man {\”{u}}ber die Tatsache, dass man Feuerwehren oft bei Br{\”{a}}nden findet, nicht folgern, dass Feuerwehren die Ursachen f{\”{u}}r Br{\”{a}}nde seien.\\
Die direkte Kausalit{\”{a}}t kann auch g{\”{a}}nzlich fehlen. So kann es durchaus eine Korrelation zwischen dem R{\”{u}}ckgang der St{\”{o}}rche im Burgenland und einem R{\”{u}}ckgang der Anzahl Neugeborener geben, diese Ereignisse haben aber nichts miteinander zu tun – weder bringen St{\”{o}}rche Kinder noch umgekehrt. Das heißt, sie haben kausal allenfalls {\”{u}}ber eine dritte Gr{\”{o}}ße etwas miteinander zu tun, etwa {\”{u}}ber die Verst{\”{a}}dterung, die sowohl Nistpl{\”{a}}tze vernichtet als auch Kleinstfamilien f{\”{o}}rdert.
Im Gegensatz zur Proportionalit{\”{a}}t ist die Korrelation nur ein statistischer Zusammenhang. Es kann nur eine ungef{\”{a}}hre Zu- oder Abnahme prognostiziert werden. Eine 200-prozentige Steigerung der Futtermenge kann eine Gewichtszunahme der K{\”{u}}he von 10 \% oder auch von 20 \% bewirken.
\section{Lineare Regression: Methode der kleinsten Quadrate}
Die Methode der kleinsten Quadrate (bezeichnender auch: der kleinsten Fehlerquadrate; englisch: Least Squares Method) ist das mathematische Standardverfahren zur Ausgleichungsrechnung. Es ist eine Wolke aus Datenpunkten gegeben, die physikalische Messwerte, wirtschaftliche Gr{\”{o}}ßen oder {\”{a}}hnliches repr{\”{a}}sentieren k{\”{o}}nnen. In diese Punktwolke soll eine m{\”{o}}glichst genau passende, parameterabh{\”{a}}ngige Modellkurve (z.B. eine Gerade) gelegt werden. Dazu bestimmt man die Parameter (im Falle der Gerade: Steigung $a$  und der $y$-Achsenabstand $b$)  dieser Kurve numerisch, indem \emph{die Summe der quadratischen Abweichungen der Kurve von den beobachteten Punkten minimiert wird}.\\

\subsection{Gerade durch drei Punkte?}
\begin{figure}[brh!]
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{GeradeDurch3Pkte.pdf}
\caption{Gerade durch drei Punkte?}
\label{g3p}
\end{center}
\end{figure}

Der Ansatz $y = ax + b$ f{\”{u}}r die Geradengleichung enth{\”{a}}lt zwei freie Parameter $a$ und $b$, die zu bestimmen sind. W{\”{a}}re die Einsetzprobe f{\”{u}}r die Koordinaten der drei Punkte $P_1$ , $P_2$ und $P_3$ erf{\”{u}}llt, so w{\”{u}}rden die folgenden Beziehungen gelten:

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
0  &=&-3a+b    \\
0 &=& a+b  \\
0&=& 2a+b
\end{array}
\end{displaymath}
oder mit den Abk{\”{u}}rzungen
\begin{displaymath}
\vec{1} =
\left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array} \right),
\qquad
\vec{x} =
\left( \begin{array}{c}
-3 \\
1 \\
2
\end{array} \right),
\qquad
\vec{y} =
\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right),
\end{displaymath}

die Vektorgleichung $\vec{y} = a\vec{x} + b\vec{1}$. Widerspr{\”{u}}che verhindern die L{\”{o}}sbarkeit dieser Gleichungen. Aber die Ordinatenwerte $y_i$ der drei Punkte $P_i$ d{\”{u}}rfen ver{\”{a}}ndert werden, um eine L{\”{o}}sung zu erzwingen. Es ist, genauer gesagt, ein
Vektor $\vec{y}$ gesucht, der in der Ebene $\epsilon$ aller Linearkombinationen von $\vec{1}$ und $\vec{x}$ liegt und f{\”{u}}r welchen die L{\”{a}}nge des Differenzvektors $\vec{r} = \vec{y}-\vec{y}~’$ minimal wird da $\| \vec{r} \| \geqslant 0$ gilt, befindet sich das Minimum von $\| \vec{r} \| $ an derselben Stelle wie jenes von
\begin{displaymath}
\| \vec{r} \| ^2 = \| \vec{r} \| \cdot \| \vec{r} \| = \sum_{i=1}^{3} r_{i}^2 ,
\end{displaymath}
wobei angenommen wurde, dass $r_i$ kartesische Koordinaten von $\vec{r}$ bezeichnen. Also ist die \emph{Normalprojektion} $\vec{y}~’$ von $\vec{y}$ auf $\epsilon$ der \emph{beste Kompromiss im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate}.\\

\subsection{Die L{\”{o}}sung des Minimierungsproblems im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate}
In unserem Falle ist der lineare Ansatz $y_i = a + bx_i$. Indem man die $x_i$ zur Datenmatrix $A$, die Parameter $a$ und $b$ zum Parametervektor $\vec{p}= (a,b)^T$ und die Beobachtungen $y_i$ zum Vektor $\vec{y}$ zusammenfasst, kann man das lineare Gleichungssystem in Matrixform darstellen und der kleinste-Quadrate-Ansatz f{\”{u}}hrt dann wieder wie oben auf ein lineares Ausgleichsproblem der Form
\begin{displaymath}
\min_{a,b}
\Bigg\|
\left( \begin{array}{c}
y_1\\
y_2\\
y_3
\end{array} \right)

\left( \begin{array}{cc}
1&x_1\\
1&x_2\\
1&x_3
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
a\\
b
\end{array} \right)
\Bigg\|_2
=\min_{\vec{p}}\| \vec{y}-A\vec{p}\|_2.
\end{displaymath}
F{\”{u}}r die resultierende Ausgleichsgerade dieses einfachen (aber durchaus relevanten) Beispiels lassen sich die L{\”{o}}sungen f{\”{u}}r die Parameter direkt angeben als
\begin{displaymath}
b=\frac{(\sum_{i=1}^{3} x_i y_i)-3 \bar{x}\bar{y}}{(\sum_{i=1}^{3}   x_{i}^{2} )-3 (\bar{x})^2} \qquad \mathrm{und} \qquad a= \bar{y}-b \bar{x}
\end{displaymath}
mit $\bar{x}=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^{3}x_i$ als arithmetisches Mittel der $\vec{x}$-Werte ($\bar{y}$ entsprechend).\\
\\
Die L{\”{o}}sung f{\”{u}}r $b$ kann mit Hilfe des Verschiebungssatzes auch als
\begin{displaymath}
b=\frac{\sum_{i=1}^{3}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{3} (x_i-\bar{x})^2}
\end{displaymath}
angegeben werden.\\

Unser Minimierungsproblem hat immer eine eindeutige L{\”{o}}sung wenn die Matrix $A$ vollen Rang hat. Die partiellen Ableitungen bez{\”{u}}glich der $p_i$ und Nullsetzen derselben zum Bestimmen des Minimums ergeben ein lineares System von Normalgleichungen (auch Normalengleichungen) ergeben die sch{\”{o}}nste und k{\”{u}}rzeste Form:
\begin{displaymath}
A^T A\vec{p}=A^T \vec{y} \qquad \mathrm{resp.} \qquad \vec{p}=(A^T A)^{-1}A^T \vec{y}.
\end{displaymath}

\section{R-Software}
Das R-Package ist eine Software f{\”{u}}r: Datenkompilation, Statistische Datenanalyse und graphische Darstellung von Datens{\”{a}}tzen und analytischen Resultaten. Alle standard Routinen sind implementiert (z.B. auch die lineare Regression im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate).

\subsection{Deskriptive Statistik:}
\begin{itemize}
\item summary statistics: \texttt{summary}
\item sample range: \texttt{range}
\item sample mean: \texttt{mean}
\item sample standard deviation: \texttt{sd}
\item sample variance: \texttt{var}
\item sample correlation matrix: \texttt{cor}
\item sample quantiles: \texttt{quantile}
\end{itemize}
Examples:\\
\texttt{ y <- c(3,5,2,6,4,2,7,4,3,3,4)}\\
\texttt{summary(y); range(y); mean(y); sd(y); var(y);\\
quantile(y,seq(0,1,by=0.05))}

\subsection{Regression}
\begin{itemize}
\item linear regression: \texttt{lm}
\item nonlinear regression: \texttt{nls}
\item generic functions on results: \texttt{summary, residuals, predict, coefficients}
\end{itemize}
Examples:\\
\texttt{x <- c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)\\
y <- c(3,5,2,6,4,2,7,4,3,3,4)\\
res.lm <- lm(y $\sim$ x); summary(res.lm)\\
residuals(res.lm)\\
predict(res.lm,interval=”confidence”)\\
coefficients(res.lm)\\
summary(res.lm)\$coefficients}

\subsection{Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen:}
\begin{itemize}
\item normal: \texttt{norm}
\item log-normal: \texttt{lnorm}
\item beta: \texttt{beta}
\item gamma: \texttt{gamma}
\item Student’s t: \texttt{t }
\item uniform: \texttt{unif}
\item etc.
\end{itemize}
Example:\\
\texttt{x <- rnorm(1000,0,1); hist(x,freq=F) \\
lines(seq(-3,3,by=0.1),dnorm(seq(-3,3,by=0.1),0,1))}

\subsection{Aufgabe in R:}

Versuchen Sie die korrelierenden Daten der K{\”{o}}rpergr{\”{o}}sse-Handfl{\”{a}}chen Statistik zu auf ein lineares Modell zu fitten. Benutzen Sie dazu den vorbereiteten Skript:

\begin{verbatim}
#Eingabe
x <- c(-3,1,2)
y <- c(0,0,1)
#Verarbeitung
res.lm <- lm(y~x)
summary(res.lm)
#y=a+bx
a<-coef(res.lm)[1]
b<-coef(res.lm)[2]
gerade<- function (x) a+b*x
#Ausgabe
plot(x, y ,col=1 ,xlab =”x”,ylab =”y”)
x<-seq(min(x), max(x),length=100000)
curve(gerade(x), min(x), max(x), col=1, add = TRUE)
\end{verbatim}

\chapter{Wenn  bei der Datenerhebung nur gesch{\”{a}}tzt werden kann}
Dieses Kaptitel verl{\”{a}}sst die Materie der deskriptiven Statistik. Ziel ist, unpr{\”{a}}zises Wissen in Form von Wahrscheinlichkeiten zu erheben. Voraussetzungen f{\”{u}}r die Abhandlung sind Grundkenntnisse {\”{u}}ber kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungen $F(\theta)=P(\Theta<\theta)$ (CDFs cumulative distribution functions) und Wahrscheinlichkeitsdichten $f(\theta)$ mit $\int_{\theta_1}^{\theta_2} f(\theta)~d\theta= P(\theta_1<\Theta<\theta_2)$ (PDFs probability density funtions).\\

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{Dichtefunktion.pdf}
\caption{Dichtefunktion der Normalverteilung $N(\mu=0,\sigma=1)$}
\label{N}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{CDF.pdf}
\caption{kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Normalverteilung $N(\mu=0,\sigma=1)$}
\label{N}
\end{center}
\end{figure}

\section{Erhebung von Quantilen}

Indem man in der Gleichung der kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilung $F(\theta)=P(\Theta<\theta)$ den Wert $P$ fixiert und den Experten nach einem gesch{\”{a}}tzten Parameterwert $\theta$ fragt, erhebt man sogenannte Quantile.\\

Der meist gefragte Parameterwert ist der Median, das ist wenn $P=50\%$ betr{\”{a}}gt. Weitere beliebte Quantile sind die Quartile, das ist wenn  $P=25\%$ bez. $P=75\%$  betr{\”{a}}gt.\\
\\
Anbei die dazugeh{\”{o}}rigen Fragen:
\begin{description}
\item[Median] K{\”{o}}nnen Sie einen Wert $\theta_m$ bestimmen so dass $\Theta$ dieselbe Chance hat kleiner bzw. gr{\”{o}}sser als diesen Wert zu sein?
\item[unteres Quartil] Nehmen wir an $\Theta$ ist kleiner als der Median. K{\”{o}}nnen Sie einen neuen Wert $\theta_lq$ angeben, f{\”{u}}r den die Chance f{\”{u}}r $\Theta$  gleich gross ist kleiner bzw. gr{\”{o}}sser als diesen Wert zu sein?
\item[oberes Quartil] Nehmen wir an $\Theta$ ist gr{\”{o}}sser als der Median. K{\”{o}}nnen Sie einen neuen Wert $\theta_lq$ angeben, f{\”{u}}r den die Chance f{\”{u}}r $\Theta$ gleich gross ist kleiner bzw. gr{\”{o}}sser als diesen Wert zu sein?
\end{description}

\section{Heuristiken}

Heuristik (altgr. heurísko „ich finde“; heuriskein, „(auf-)finden“, „entdecken“) bezeichnet die Kunst, wahre Aussagen zu finden, im Unterschied zur Logik, die lehrt, wahre Aussagen zu begr{\”{u}}nden. Gerd Gigerenzer definiert wie folgt: Als Heuristik bezeichnet man eine Methode, komplexe Probleme, die sich nicht vollst{\”{a}}ndig l{\”{o}}sen lassen, mit Hilfe einfacher Regeln und unter Zuhilfenahme nur weniger Informationen zu entwirren.

\subsection{Die Ankerheuristik}
Mit Anker- und Anpassungsheuristik bezeichnet man in der Sozialpsychologie eine unbewusste mentale Abk{\”{u}}rzung, bei der sich das Urteil an einem beliebigen (willk{\”{u}}rlichen) Anker orientiert. Die Folge ist eine systematische Verzerrung in Richtung des Ankers.
Beispiel von Daniel Kahneman: Wenn ein Publikum zuerst gebeten wird, die letzten vier Ziffern der eigenen Sozialversicherungsnummer auswendigzulernen, und dann die Anzahl der {\”{a}}rzte in New York sch{\”{a}}tzen soll, dann betr{\”{a}}gt die Korrelation beider Zahlen etwa 0.4 – weit mehr als dem Zufall entsprechen w{\”{u}}rde! An die erste Zahl nur zu denken, beeinflusst die zweite, obwohl es keine logische Verbindung zwischen beiden gibt.\\

Nicht nur Zahlen k{\”{o}}nnen als Anker dienen, sondern auch pers{\”{o}}nliche Erfahrungen und Beobachtungen.

\subsection{Die Verf{\”{u}}gbarkeitsheuristik}
Die Verf{\”{u}}gbarkeitsheuristik (engl. Availability heuristic) geh{\”{o}}rt in der Sozialpsychologie zu den sog. Urteilsheuristiken, welche gewissermaßen Faustregeln darstellen, um Sachverhalte auch dann beurteilen zu k{\”{o}}nnen, wenn kein Zugang zu pr{\”{a}}zisen Informationen besteht. Die Bezeichnung Verf{\”{u}}gbarkeitsfehler (engl. Availability error) ist ebenfalls gebr{\”{a}}uchlich f{\”{u}}r die dem Spielerfehlschluss verwandte Wahrnehmungsverzerrung. Sie beruht auf der Tendenz, bestimmte Ereignisse h{\”{o}}her zu gewichten und eher in Erinnerung zu rufen als andere Ereignisse.

\subsection{Die Repr{\”{a}}sentativit{\”{a}}tsheuristik}
Die Repr{\”{a}}sentativit{\”{a}}tsheuristik geh{\”{o}}rt in der Sozialpsychologie zu den Urteilsheuristiken, welche gewissermaßen Faustregeln darstellen, um trotz großer Unsicherheit in Situationen zu schnellen und {\”{o}}konomischen Urteilen zu kommen.
Je {\”{a}}hnlicher eine Person einem typischen Vertreter einer bestimmten Gruppe ist, desto eher ordnet man die Person dieser Gruppe zu.
In einer klassischen Untersuchung boten Daniel Kahneman und Amos Tversky (1983) ihren Versuchspersonen die schriftliche Beschreibung einer weiblichen Person namens Linda dar. Darin wurde sehr viel {\”{u}}ber Lindas T{\”{a}}tigkeit f{\”{u}}r Frauenrechte und Emanzipation berichtet. Danach wurden die Probanden gefragt, was denn nach dieser Beschreibung wahrscheinlicher sei, dass Linda “eine Bankangestellte” oder “eine Bankangestellte und Feministin” sei. Die Mehrzahl der Versuchspersonen sch{\”{a}}tzte die Wahrscheinlichkeit, dass Linda “Bankangestellte und Feministin” sei, wesentlich h{\”{o}}her ein.
Diese Einsch{\”{a}}tzung ist jedoch irrig, denn die Wahrscheinlichkeit f{\”{u}}r das gleichzeitige Auftreten beider Ereignisse kann nicht gr{\”{o}}ßer sein, als die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Ereignisse alleine eintritt (Konjunktion, und-Verkn{\”{u}}pfung). (Selbst wenn alle Bankangestellten auch Feministinnen sind, w{\”{a}}ren die beiden Wahrscheinlichkeiten f{\”{u}}r (1) “Bankangestellte” und f{\”{u}}r (2) “Bankangestellte und Feministin” gleich groß.)

\section{Aufgabe: Einsch{\”{a}}tzung der Anzahl Raucher pro Klasse an der Schule}

\begin{figure}[rh]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{Rplot.pdf}
\caption{Gefittete Lognormalverteilung des Datensatzes: $x=(0,3,4,5,20)$, $y=(0,0.25,0.5,0.75,0.9999$. Der Plot entspricht dem untenstehenden R-Programm.}
\label{rPlot}
\end{center}
\end{figure}

Sch{\”{a}}tzen Sie die Anzahl Raucher pro Klasse an der Schule. Erfragen Sie den Median, das untere und obere Quartil. Tun Sie das in Abh{\”{a}}ngigkeit des Jahrganges. Nehmen sie als Standardklassengr{\”{o}}sse 20 Sch{\”{u}}ler. Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Raucherstatistik aus dem obigen Kapitel. Versuchen Sie die Unterschiede zu erkl{\”{a}}ren.\\

Geben Sie die Daten in folgendes R-Programm ein, welches die Daten mit einer Lognormalverteilung fittet:
\begin{verbatim}

rm(list=ls())

#INPUT

#Quantiles
q <- c(0, 3, 4, 5, 20)
#Probabilities
p <- c(0, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9999)

#PROCESSING

# LOG NORMAL Distribution Fit of Quantilefunction
qlnorm.nls <- nls(q ~ qlnorm(p, meanlog = A, sd = B),
start=list(A = 2, B = 1))

#Define Functions dnorm qnorm pnorm
fln<- function (x) dlnorm( x, meanlog=coef(qlnorm.nls)[1],
sdlog=coef(qlnorm.nls)[2])
Fln<- function (x) plnorm( x, meanlog=coef(qlnorm.nls)[1],
sdlog=coef(qlnorm.nls)[2])
qln<- function (x) qlnorm( x, meanlog=coef(qlnorm.nls)[1],
sdlog=coef(qlnorm.nls)[2])

#Calculation of Factor Kappa
x<-seq( q[1], q[5],length=100000)

# def FLower envelope
Fl<- function (x, k) (Fln(x)/(Fln(x)+k*(1-Fln(x))))
# def FUpper envelope
Fu<- function (x, k) (k*Fln(x)/(k*Fln(x)+(1-Fln(x))))

k<-1
k1.temp<-rep(1,length(q))
k2.temp<-rep(1,length(q))
#calculation of k
for(i in 1:length(q)){
if(p[i]<Fln(q[i])) {k1.temp[i]
<-(Fln(q[i])*(1-p[i]))/(p[i]*(1-Fln(q[i])))}
if (p[i]>Fln(q[i])){k2.temp[i]
<-(p[i]*(1-Fln(q[i])))/(Fln(q[i])*(1-p[i]))}
k<-max(k1.temp,k2.temp)}

#OUTPUT

par(mfrow=c(1,3))

#plot 1

#plot elicitated data
plot(q, p ,col=1 , xlab =(expression(theta)), ylab =”CDF”)

#plot CDF of fitted Log-Normal-Distribution
curve(Fln(x), q[1]*1.2,q[5]*1.2, col=1, add = TRUE,lty=”dotted”)

#plot 2

#empty plot to set the second frame
plot(numeric(0),numeric(0),xlim=c(q[1]*1.2,q[5]*1.2)
ylim=c(0,k*max(fln(x))*1.1), xlab = (expression(theta)),
ylab =”Density Ratio PDFs”)

#plot PDF of fitted Log-Normal Distribution
curve(fln(x), q[1]*4, q[5]*4, col=1, add = TRUE,lwd=”2″ )

#plot the unnormalized PDF of the fitted Log-Normal Distribution
curve(k*fln(x), q[1]*4, q[5]*4, col=1, add = TRUE,lwd=”2″)

#empty plot to set the fird frame
plot(numeric(0),numeric(0),xlim=c(q[1]*1.2,q[5]*1.2),ylim=c(0,1),
xlab = (expression(theta)), ylab =”Probability”)

curve(Fl(x,k), q[1]*4, q[5]*4, col=1, add = TRUE,lwd=”2″)
curve(Fu(x,k), q[1]*4, q[5]*4, col=1, add = TRUE,lwd=”2″)
points(q, p ,col=1 , xlab =(expression(theta)), ylab =””)

#prints
#print fitting coefs of normal distribution
summary(qlnorm.nls)
#print final factor used
k
\end{verbatim}

% D. Literaturverzeichnis https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************
%\begin{thebibliography}{99}
%\end{thebibliography}

\end{document}

Anbei die nötigen Figures:

geradedurch3pkte.pdf

rplot.pdf

cdf.pdf

dichtefunktion.pdf

folio.pdf

Übungsvorlage | Fehlerrechnung

Übungsvorlage in pdf: Übungen_Fehlerkalkul.pdf

Anbei die Version in LaTeX:

% A. PR{\”{a}}AMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% ***********************************************

\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc} % teilt LaTeX die Texcodierung mit. Bei Windowssystemen: ansinew
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{color}
\usepackage[dvips]{geometry}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}

\begin{document}

% B. TITEL https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *************************************

\titlehead{
\hfill Alpen der \today}
\subject{
\sc{{\”{u}}bungen}}
\title{\sc{Kalk{\”{u}}l mit der Ungenauigkeit}}
\author{\sc{- 4K -}}
\date{Kantonsschule Grindelwald}
\maketitle

% C. UEBUNGEN https://blogs.ethz.ch/rindi/
% *******************************************

\begin{tabbing}
a) \= \quad \=
\kill

\textbf{Aufgabe 1:}\\
\\
Von einem Zylinder wurde der Durchmesser $D=4.84\pm0.01$
cm, die H{\”{o}}he $h=6.74\pm0.01$ cm\\
und durch W{\”{a}}gung die Masse $m=968.5\pm0.1$ g bestimmt.\\
\\
\>a) \>Wie gross ist die Schranke f{\”{u}}r den absoluten\\ \>  \>und relativen Fehler f{\”{u}}r die Dichte $\rho$ des Zylinders?\\
\\
\>b) \>Welchen Fehler kann man vernachl{\”{a}}ssigen?\\
\\
\>c) \>Wie gross ist der maximale Fehler f{\”{u}}r $\rho$?\\
\\
\end{tabbing}

\textbf{Aufgabe 2:}\\
\\
Ein Hohlzylinder hat den {\”{a}}usseren Radius $r_{1}\approx10$ cm, den inneren Radius $r_{2}\approx8$ cm und die H{\”{o}}he $h\approx12$ cm. Mit welchen absoluten Fehlern d{\”{u}}rfen diese drei Gr{\”{o}}ssen gemessen werden, damit der relative Maximalfehler des Volumens h{\”{o}}chstens $\pm2\%$ betr{\”{a}}gt?\\

Allgemeine Annahme: Die Fehler in den Messungen sollen je zu einem $\frac{1}{n}$-Teil  zum gesammten absoluten Fehler beitragen (Beispiel: Drei Messungen $\Rightarrow$ jede Messung tr{\”{a}}gt $\frac{1}{3}$ zum Gesamtfehler bei).\\
\newpage

\textbf{Aufgabe 3:}\\
\\
Zur Bestimmung der nicht messbaren Strecke $\bar{AB}$ wurde ein Hilfspunkt $C$ gew{\”{a}}hlt, und dann wurden die Strecken $\bar{AC}$, $\bar{BC}$ und der Winkel $\gamma$ gemessen. Wie gross ist die Strecke $\bar{AB}$ und der absolute Maximalfehler wenn gilt:\\
\\
$\bar{AC}=402.35\pm0.05$ m\\
$\bar{BC}=364.76\pm0.05$ m\\
$cos \gamma = 0.37327\pm0.00008$ (Radmass)\\
\\

\textbf{Aufgabe 4:}\\
\\
Man berechne die Wertschranke des formalen Ausdrucks $A_{i}$:\\
\\
\begin{displaymath}
A_{1}=\frac{2a^2bc}{(b+c)^2}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
A_{2}=\frac{a^2c-b^2c}{2a^2-ab-3b^2}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
A_{3}=\frac{a(1-b)^3}{2c}\\
\end{displaymath}
\\
f{\”{u}}r $a=3.02\pm0.0800 \qquad b=1.03\pm0.0400 \qquad c= -0.0300\pm 0.0040$\\
\\
Dabei sind die Formeln $A_{i}$ exakt!\\

\textbf{Aufgabe 5:}\\
\\
Die Zahl $\pi$ werde durch die N{\”{a}}herungswerte $z_{1}=\frac{22}{7}$ und $z_{2}=\frac{355}{113}$ ersetzt.\\
\\

\begin{tabbing}
a) \= \quad \=
\kill
\>a) Wie gross sind die wahren Fehler von $z_{1}$ und $z_{2}$ (auf 2 signifikante Stellen genau)? \\
\>b) Welchen Fehler erh{\”{a}}lt man f{\”{u}}r die Fl{\”{a}}che eines Kreises mit dem Radius $r=5$ cm,\\
\> \>wenn man mit $z_{1}$ bzw. $z_{2}$ rechnet?
\end{tabbing}

\newpage
\textbf{Aufgabe 6:}\\
\\
Berechnen Sie die absoluten und relativen Fehlerschranken der Anziehungskraft $F$ zwischen Sonne und Erde, wenn gilt:\\
\\
\begin{displaymath}
F=\Gamma\frac{M_{s}M_{e}}{r^2}
\end{displaymath}
\\
$M_{e}=5.976 \ 10^3kg \quad  M_{s}=333.1 \ 10^3 \ M_{e}  \quad r=149.6 \ 10^6 \ km \quad \Gamma=6.670 \ 10^{-11} \ m^3 \ kg^{-1} \ s^{-2}$
\\

\textbf{Aufgabe 7:}\\
\\
Aus der L{\”{a}}nge $l=118.5$ cm und der Schwingungsdauer $T=2.180$ s eines mathematischen Pendels soll die Erdbeschleunigung $g$ berechnet werden. Wie genau m{\”{u}}ssen $l$ und $T$ bestimmt werden, damit der absolute Maximalfehler von $g$ nicht mehr als $\pm1cm$ $s^{-2}$ betr{\”{a}}gt?\\

Es gilt f{\”{u}}r kleine Auslenkungen:\\
\\

\begin{displaymath}
T=2\pi \sqrt{ \frac{l}{g}}
\end{displaymath}

\textbf{Aufgabe 8:}\\
\\
a) Berechnen Sie die Fehlerschranken f{\”{u}}r den absoluten und relativen Fehler von $Q_{i}$.\\
b) Berechnen Sie die Wertschranken f{\”{u}}r $Q_{i}$ und das Resultat.

\begin{displaymath}
Q_{1}=\frac{2a^2-b^2}{5c \ 3ab}
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
Q_{2}=3a^5 \ 2b^2 \ + \ \frac{3ab}{22b^2}
\end{displaymath}
\\
Wobei:\\
\\
$a= -2.2\pm0.2$\\
$b=3.1\pm0.3$\\
$c=4.3\pm0.4$\\
\\

\end{document}

Prüfungsvorlage Bogen B | ggT (grösster gemeinsamer Teiler) | kgV (kleinstes gemeinsame Vielfache) |

Eine Prüfungsvorlage in pdf: Prüfung-ggT-Kgv-Bogen-b.pdf

Die Lösung in pdf: Lösung-ggT-kgV-Bogen-b.pdf

Anbei die Version der Prüfung in LaTeX:

% A. PRAEAMBEL https://blogs.ethz.ch/rindi
% ******************************************************************
\documentclass[smallheadings,headsepline,12pt,a4paper]{scrartcl}
\usepackage[ngerman, french]{babel}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\pagestyle{plain}
\clubpenalty = 10000
\widowpenalty = 10000
\selectlanguage{ngerman}
\begin{document}
% B. PRUEFUNG/TEST https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************
\titlehead{
\hfill Niedwalden der \today}
\subject{
\sc{Pr\”ufungsbogen B}}
\title{\sc{- ggT – kgV -}}
\author{\sc{Klasse 1}}
\date{Kantonsschule Niedwalden}
\maketitle
% B. DOKUMENT        https://blogs.ethz.ch/rindi
% *************************************************
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Aufgabe &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13 &Total\\
\hline
Punkte  &1&1&1&1&2&2&2&2&2&1&2&4&4 &25 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Du hast 90 Minuten Zeit. Achte auf eine saubere Darstellung. Der L\”osungsweg muss klar
ersichtlich sein, dazu geh\”ort: die gesuchte Variable ist klar gekennzeichnet, die Rechnung
ist vorhanden und sauber gel\”ost und am Schluss steht ein Antwortsatz. Viel Erfolg!

\begin{enumerate}
\item Was sind “Nat\”urliche Zahlen”?
\item Was ist eine “Primzahl”?
\item Defniniere mathematisch “Vielfaches einer Nat\”urlichen Zahl”.
\item Defniniere mathematisch “Teiler einer Nat\”urlichen Zahl”.
\item Definiere mathematisch das “kgV” \emph{und} mache ein einfaches Beispiel dazu.
\item Definiere mathematisch den “ggT” \emph{und} mache ein einfaches Beispiel dazu.
\item Errechne: (a) $kgV(324,72)$ $\quad$ (b) $kgV(51,36,102)$
\item Errechne: (a) $ggT(324,72)$ $\quad$ (b) $ggT(432,288,672)$
\item Zwei Telefonkabel sind $174$ m und $232$ m lang. Sie sind so zu zerschneiden,
dass daraus m\”oglichst grosse, gleich lange Telefonkabelst\”ucke zum Weiterverkauf
entstehen und kein Restst\”uck bleibt. Wie lang wird ein solches Telefonkabelst\”uck?

\item Zwei \emph{gleichnennrige} Br\”uche k\”onnen bekanntlich sehr einfach addiert werden.
Berechne $x=\frac{11}{324}+\frac{5}{72}$, indem Du die Br\”uche mit Hilfe des kgVs gleichnennrig machst.

\item Ein(e) Innenarchitekt(in) will eine  92 cm lange und  68 cm breite Tischplatte mit m\”oglichst grossen, quadratischen Mosaikpl\”attchen bekleben.\\
(a) Welche Seitenl\”ange muss ein solches Pl\”attchen haben?\\
(b) Wie viele braucht der/die Innenarchitekt/in davon?\\

\item Ein alter und ein neuer Skilift fahren parallel den Berg hoch.\\
Die Talstation ist auf $1650$ m.\”u.M. und die Bergstation ist auf $2100$ m.\”u.M.\\
Der alte Lift hat eine Steiggeschwindigkeit von $v_{a}=3$ km/h.\\
Der neue Lift hat eine Steiggeschwindigkeit von $v_{n}=5.4$ km/h.\\
(a) Wie lange braucht ein altes “S\”asseli” bis es wieder an der gleichen Stelle ist?\\
(b) Wie lange braucht ein neues “S\”asseli” bis es wieder an der gleichen Stelle ist?\\
(c) Wenn ein altes und ein neues “S\”asseli” gleichzeitig an der Talstation starten,\\
wie lange dauert es, bis sie zum n\”achsten Mal gemeinsam an der Talstation wegfahren?

\item Denke an eine rechteckige Schokoladetafel mit mehreren “Reiheli”.\\
(a) Warum gibt es keine, welche $3,5,7,11,13,17,19,23$ oder $29$ “T\”afeli” hat?\\
Begr\”unde Deine Antwort in kurzen S\”atzen.\\
(b) Als Ingenieur/Ingenieuse einer Schokoladefabrik erh\”alst Du folgenden Auftrag:\\
Es soll eine Tafel Schokolade hergestellt werden, die nicht mehr als $30$ “T\”afeli” hat.\\
Es sollen m\”oglichst viele Leute eine Tafel gerecht unter sich aufteilen k\”onnen.\\
Wie viele “T\”afeli” \emph{muss} die Schokoladetafel haben und wieviele Reiheli \emph{kann} sie haben?
\”Uberzeuge den Chef der Fabrik mit stichhaltigen Argumenten.

\end{enumerate}
\end{document}% https://blogs.ethz.ch/rindi