Urschriften zu Hilbert-Bernays „Grundlagen der Mathematik“

Die einzig signifikante Originaldarstellung von Hilberts Programm und Beweistheorie findet sich in der zweibändigen Monographie „Grundlagen der Mathematik“ von Paul Bernays und David Hilbert, kurz „Hilbert-Bernays“, erschienen in zwei Auflagen 1934/39 und 1968/70 bei Springer.

Hilberts Ziel war es, die Widerspruchsfreiheit der üblichen Methoden der Mathematik ein für alle Mal mittels seiner „finiten“ Mathematik nachzuweisen, aufbauend auf den Methoden von Kronecker, Brouwer, Weyl und Heyting, aber ohne den Verlust von Theoremen etc., der mit deren intuitionistischen Ansätzen einhergeht. Die Hauptschritte von Hilberts Programm sind: 1. Arithmetisierung der Mathematik. 2. Logische Formalisierung der Arithmetik. 3. Widerspruchsfreiheitsbeweis in Form eines Unmöglichkeitsbeweises: In der formalisierten Arithmetik kann neben einer Formel nicht auch noch deren Negation formal herleitbar sein.

Der 3. Schritt ist hierbei der problematische, wie Gödel mit seinen Unvollständigkeitssätzen gezeigt hat. Trotzdem hat das Programm bis heute nicht unumstrittene Evidenz für die Widerspruchsfreiheit von Teilen der Mathematik geliefert, eine Elite junger Mathematiker fasziniert, die dann das Gebiet der Beweistheorie geprägt haben (Ackermann, Neumann, Gödel, Herbrand, Gentzen), und unser Wissen über die Begründbarkeit der Mathematik im negativen und positiven Sinne in epochaler Weise erweitert. Hinzukommt die Entwicklung von Hilberts epsilon als Hauptwerkzeug mit ungenutztem Potential, das auch noch im 21. Jahrhundert Logik und Informatik von Grund auf reformieren könnte: etwa durch eine mächtigere Neuformalisierung der Logik der natürlichen Sprachen oder durch ein über die Möglichkeiten der statistischen KI hinausgehendes, automatisches Verstehen natürlicher Sprachen.

Laut Bernays’ Vorwort musste bereits die erste Hilbert-Bernays-Auflage vor ihrer Publikation „in einem Stadium, in dem die Darstellung schon ihrem Abschluß nahe war“ völlig neu geschrieben werden, weil „durch das Erscheinen der Arbeiten von HERBRAND und GÖDEL eine veränderte Situation in der Beweistheorie entstand, welche die Berücksichtigung neuer Einsichten zur Aufgabe machte“. Diese verschollene Urschrift der ersten Auflage aufzufinden, ist sicherlich einer der größten Wünsche der Historiker der modernen Logik und Beweistheorie!

Für die Assistenz bei der Hilbert-Bernays-Neuauflage durch Prof. Bernays an der ETH Zürich erhielt Gisbert Hasenjaeger 1950-52 Stipendien für drei Semester vom Schweizerischen Schulrat. Hasenjaeger erstellte eine weitgehend neue, stark verbesserte Einleitung zum ersten Band und zwei neue Kapitel über Peanos iota, welche das technisch obsolete, einzige iota-Kapitel ganz am Ende des ersten Bandes von Hilbert-Bernays ersetzten sollten. Wahrscheinlich hat Hasenjaeger sogar eine Neuauflage des ganzen ersten Bandes ausgearbeitet.

In die zweite Auflage von Hilbert-Bernays, die erst fast zwei Jahrzehnte nach Hasenjaegers ETH-Aufenthalt erschien, sind diese Arbeiten jedoch in keiner Weise eingegangen. Diese zweite Auflage ist hingegen eine Kopie der ersten, erweitert um ein gutes Dutzend von Bernays neu geschriebener oder überarbeiteter Abschnitte.

Alle diese Bernays-Hasenjaeger-Arbeiten galten bislang als verschollen. Ein ganz wesentlicher Teil von Bernays’ originären Vorstellungen im Bereich der finiten Mathematik, der Beweistheorie und Hilbert’s Programm nach Hilberts Tod schien mit den Bernays-Hasenjaeger-Arbeiten verlorengegangen zu sein.

Soll man nach diesen Urschriften oder deren Bruchstücken noch weiter suchen? Ich war und bin davon überzeugt, dass sich dies lohnt. Im Jahre 2017 habe ich als Postdoc an der ETH innerhalb weniger Stunden im Bernays-Nachlass im ETH Archiv der ETH Bibliothek einen in falscher Mappe (Hs973:41 seit 22. Juni 2021 in neuer Untermappe Hs973:41.1) abgelegten, 34-seitigen Kandidaten für ein Bruchstück einer solchen Urschrift gefunden, welches im Rahmen dieses Blogbeitrags nun zugänglich gemacht wird.

Erste Seite des Typoskripts 

Wie man sehen kann, handelt es sich um ein Typoskript mit handschriftlichen Korrekturen von Bernays. Gleichzeitig mit diesem Bruchstück ist der nunmehr vollständige Bericht über die Untersuchung dieses Typoskriptes veröffentlicht worden, auf den für weitere Fragen verwiesen sei.

Zunächst war überhaupt nicht klar, ob es sich um eine Urschrift zur ersten oder zur zweiten Auflage handle. Die meisten Punkte sprachen aber für die zweite Auflage, und nachdem sich im Hasenjaeger-Nachlass im Deutschen Museum zwei Durchschriften mit maschinenschriftlicher Einarbeitung der handschriftlichen Korrekturen gefunden hatten (sowie die in der ETH-Version fehlenden Texte zu den im laufenden Text nur markierten Fußnoten!) darf man davon ausgehen, dass es sich um ein Anfangsfragment der verbesserten neuen Einleitung zum ersten Band handelt, welche, wie die Bernays-Hasenjaeger-Texte überhaupt, weder in die zweite Auflage von Hilbert-Bernays aufgenommen, noch sonst irgendwo publiziert wurden und bislang alle als verschollen galten.

Trotz seines einleitenden Charakters hat dieses kurze Fragment in zwei kleineren Punkten das im Hilbert-Bernays-Projekt versammelte weltweite Expertenwissen über Hilbert-Bernays vorangebracht und die Deutsch-Englische, kommentierte Hilbert-Bernays-Ausgabe in diesen beiden Punkten verändert. Man kann hieran erahnen, wie groß der Erkenntnisgewinn erst bei den weiterhin verschollenen, weitaus umfangreicheren und signifikanteren Urschriften zu Hilbert-Bernays sein dürfte.

Während im Hasenjaeger-Archiv im Deutschen Museum keine weiteren Urschriftfragmente zu Hilbert-Bernays vorliegen, dürften die Chancen im ETH Archiv und in den ungesichteten Manuskripten der Antiquariate für weitere Funde sehr gut stehen, zumal diese wegen ihres Umfanges und der signifikanten Sprache Bernays’ kaum zu übersehen sein dürften, sobald einmal die Sensibilität für die unveränderte Bedeutung dieser Urschriften geweckt ist, die ja für die Geschichte der Mathematik und möglicherweise auch für die Zukunft der Mathematik selbst von unschätzbarem Wert sein dürften.

Ich hoffe, mit diesem Beitrag zu dieser Sensibilität beizutragen und die ihnen gebührende Aufmerksamkeit auf diese Texte zu lenken. Die Schatzsuche geht also weiter, nicht zuletzt auch nach der Fortsetzung des aufgefundenen 34-seitigen Anfangsfragmentes, welche in jedem Falle existiert haben muss (wenn vielleicht auch nur in Bernays’ Gabelsberger-Kurzschrift) und sicherlich nach Bernays’ Tod irgendwo an der ETH oder in Zürich verblieb, wo Bernays die zweite Hälfte seines Lebens verbracht hat.

Link:

Homepage von Claus Peter Wirth: https://w2.cs.uni-saarland.de/

AutorInnen

2 thoughts on “Urschriften zu Hilbert-Bernays „Grundlagen der Mathematik“

  • Wednesday June 30th, 2021 at 08:12 AM
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    Ein faszinierendes Stück Wissenschaftsgeschichte! Toller Beitrag!

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  • Thursday July 1st, 2021 at 03:02 PM
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    I do think that your search for these documents is really great and it will help us gaining a better understanding through Bernays’s mind. I wish I could be a part of that exciting journey

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